Dm -> exercice découverte théorème de Ménélaüs ... problème

[Flori@n]

Bonjour à tous !

j'ai un exercice que l'on pourrais appelé exercice de découverte du Théorème de Ménalaüs ...

mais je bloque sur une partie de l'exercice ... :triste: :triste:
voici cette partie :

DEFG est un tétraèdre. R, S, T sont des points appartenant respectivement aux segments [DE], [EF] et [FG] et U un point appartenant à la droite (DG).
On sait que R,S,T et U sont coplanaires.
les droites (RS) et (DF) se couent en V.

question :
Démontrer que :

RD/RE x SE/SF x TF/TG x UG/UD = 1

(en utilisant deux triangle bien choisis et en multipliant membre à membre les égalités obtenues.)

merci d'avance pour votre aide

[rene38]

Bonsoir

Tu es en découverte du théorème de Menelaüs ou bien tu dois l'utiliser ?
Dans ce dernier cas, en t'en servant dans le triangle DEF puis dans le triangle DFG, tu dois arriver à tes fins.

[Flori@n]

On n'avais jamais parler du théorème de Ménélaüs en classe avant cet exercice (d'ailleurs on en a toujours pas parlé)... c'est pour cela que j'appelle ce dm : découverte du théoèrem de Ménélaüs.
mais a mon avis on doit surement l'utiliser ...

merci Rene38 mais que faire avec ces deux triangles DEF et DFG ? :doh: :mur:

[Flori@n]

s'il vous plait aidez moi :cry:

[Flori@n]

s'il vous plait ... :cry: :cry:

[rene38]

Pour démarrer :

La parallèle à (RS) passant par E coupe (DF) en W.
Le théorème de Thalès appliqué dans le triangle DEW permet d'écrire (après quelques manipulations) : d'où

Le théorème de Thalès appliqué dans le triangle FEW permet d'écrire (après quelques manipulations) : d'où

On a donc
et en multipliant les 2 membres par l'inverse du second :



Une démonstration analogue (à toi de la rédiger) permet d'obtenir

et en multipliant membre à membre les 2 égaltés précédentes ...

[Flori@n]

merci beaucoup Rene38 !!!

encore une petite question... désolé de t'embéter...

pour un autre exercice ...

HIJK est un tétraèdre. W X Y et Z sont les points définis par :

vecteur HW = 3/7 vecteur HI
vecteur JX = 3/5 vecteur JI
vecteur YJ + vecteur YK = vecteur nul
et vecteur ZK + 5 vecteur ZH = vecteur nul

il faut montrer que les points W X Y et Z sont coplanaires


il me semble que ces 4 points sont coplanaire si et seuelemnt si les vecteur WX, WY et WZ sont coplanaire et donc il faudrait montrer qu'il existe deux réels x et y qui permette de dire
WX = xWY + yWZ

mais la je ne sais vraiment pas pas pour commencer ...

[rene38]

Tu peux choisir un repère par exemple et utiliser les hypothèses :

vecteur HW = 3/7 vecteur HI
vecteur JX = 3/5 vecteur JI
vecteur YJ + vecteur YK = vecteur nul
et vecteur ZK + 5 vecteur ZH = vecteur nul

pour calculer les coordonnées de tes 3 vecteurs dans ce repère.