Exercice curieux

[Dinozzo13]

Bonjour, je suis tombé sur un exercice pour le moins original selon moi, l'ennui c'est que je ne sais pas comment le faire , j'aurai donc besoin d'aide, merci d'avance :++: .
On donne un entier naturel non nul et l'équation : .
On me demande de démontrer que, pour tout non nul, l'équation admet une seule solution réelle positive.

J'ai essayer de réécrire la somme : , pour , mais je n'arrive à rien de concluant.

[AlexisD]

As-tu essayé par récurrence sur n ?

[AlexisD]

A première lecture, je continuerai dans ton raisonnement, cela revient à montrer que
n'admet qu'une seule solution...

[Dinozzo13]

:we: oui, je suis arrivé là, mais après je ne vois pas comment faire pour montrer qu'il n'y a qu'une solution :triste:

[Dinozzo13]

:id: On peux peut-être etudier, suivant n, les variations de la famille de fonction f telle que en calculant sa dérivée, non ?

[AlexisD]

Pose f définie comme étant

Etudie les variations de la fonction et détermine l'unicité de la solution.
Cela dit, le n pose problème, j'étudierais alors deux cas: n pair et n impair...

[Dinozzo13]

Pose f définie comme étant

Etudie les variations de la fonction et détermine l'unicité de la solution.
Cela dit, le n pose problème, j'étudierais alors deux cas: n pair et n impair...

:ptdr: , je viens d'avoir la même idée, regarde au-dessus.
Alors on a

[Dinozzo13]

dans la fonction, c'est ou ???

[AlexisD]

Oui, nos messages se sont croisés ! Désolé ! :we:

[Dinozzo13]

A première lecture, je continuerai dans ton raisonnement, cela revient à montrer que
n'admet qu'une seule solution...

Pose f définie comme étant

Etudie les variations de la fonction et détermine l'unicité de la solution.
Cela dit, le n pose problème, j'étudierais alors deux cas: n pair et n impair...

c'est ou ???

[AlexisD]

Peu importe finalement, tu peux poser en changeant les hypothèses de l'énoncé et dire que n>2 ou rester avec

[Dinozzo13]

Donc selon toi, il faut étudier quand n est pair et quand n est impair ?

[Le_chat]

Vous vous prenez un peu la tête :marteau:
Quelque chose de plus simple: soit f de R+ dans R tel que Il suffit de montrer qu'elle établit une bijection de R+ sur R+ :we:

[Dinozzo13]

Super, je sais pas encore démontrer une bijection de vers

[Le_chat]

Bon et bah j'ai rien dit alors :hum:

[Dinozzo13]

C'est dur à démontrer que f est bijective ?

[Le_chat]

C'est dur à démontrer que f est bijective ?

Bah justement c'est tres simple: trouver la limite de f en 0, en plus l'infini, et demontrer que sa derivée est positive sur R+... pas tres dur.

[Dinozzo13]

:we: Ah, juste ça, enfantin ^^

[Dinozzo13]

la limite de f en 0 vaut 0, la limite de f en vaut .
, par contre je vois pas comment démontrer qu'elle est positive :triste: , est-ce que je peux dire que donc

[Le_chat]

la limite de f en 0 vaut 0, la limite de f en vaut .
, par contre je vois pas comment démontrer qu'elle est positive :triste: , est-ce que je peux dire que donc

Oui c'est juste sa, x et positif, donc ses puissances aussi...
Ps: petite erreur dans la dérivée