Exercice Congruence

[Turn]

Bonjour tout le monde voilà mon pb


Soit N un entier naturel.
Soient a0,a1,....,an des entiers naturels tels que pour tout i {0,1,2,....,n-1} , 0ai 9 et 0 an 9

Dire que l'écriture en base 10 de N est a(n)a(n-1)...a(1)a(0) siginifie que N = a0+10a1 + ... + 10^(n-1) * a(n-1) + 10^n * an

1)a) Déterminer suiant les valeurs de l'entier naturel non nul n le reste de la division euclidienne par 9 de 7^n.

b) Démontrer que (2005)^2005 congrus à 7 modulo 9.

2) a) Démontrer que pour tout entier non nul n, 10^n congrus à 1 modulo 9.
b) On désigne par N un entier natuerl écrit en bsa 10. On apellle S la somme des ses chiffres.
Démontrer la relation suivante : N congru à S modulo 9.

c) En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par 9.

3) On suppose que A = 2005^2005
On désigne B la somme des chiffres de A, C la somme des chiffres de B et D la somme des chiffres de C.

a) Démontrer la relation suivante : A congrus à D modulo 9.

b) Sachant que 2005<10 000 démontrer que A s'éccrit en numération décimale (base 10) avec plus de 8020 chiffres.

En déduire que B est inférieur ou égale à 72180.

c) Démontrer que C est inférieur ou égale à 45.

d) En étudiant la list des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant D plus petit que 15.

e) Démontrer que D = 7

J'ai un problème à partie de la 3)b) jusqu'à la 3)e)
donc j'aurai besoin d'aide

Meci d'avance

:we:

[LN1]

bonsoir,

on quitte un peu le domine de l'arithmétique pour celui des majorant

3.b.
2005 1
...
10 -- > 1
11 --> 2
...
18 -->9
19 --> 10
20 --> 2
...
29 --> 11

et tu vas voir que tu n'arrives pas à dépasser 12

Donc D < 12

3.e. on revient maintenant aux congruence :
(modulo 9)
et D < 12
donc D = 7

[Turn]

Si je suis ce que tu as mis et que j'ai compris cela donne :

3.c. tu recommence avec B
B < 72180
B s'écrit avec au plus 72180 chiffres
ces chiffres sont au pire égaux à 9 donc
C = somme des chiffres de B < 9*72180 ce qui est différent de 45 :hein:


Sinon pour cela ;
3.c.
tu sais donc que C < 45
tu calcules donc la somme des chiffres de tout entier inférieur à 45
1 --> 1
...
10 -- > 1
11 --> 2
...
18 -->9
19 --> 10
20 --> 2
...
29 --> 11

c'est quoi le principe ??? :marteau:

[LN1]

enfin!!!
si B 1
...
10 -- > 1
11 --> 2
...
18 -->9
19 --> 10
20 --> 2
...
29 --> 11

c'est quoi le principe ??? [/quote]
J'ai donné le principe dans l'intro : il faut calculer la somme des chiffres pour tous les nombres de 1 à 45
Je ne vais quand même pas détailler les 45 calculs?
donc j'ai mis des pointillés et je te laisse faire le reste

[Turn]

En effet j'ai été trop vite pour les 5 chiffres .... :briques: :briques: :briques:


Mais quand on dis u calcules donc la somme des chiffres de tout entier inférieur à 45 pour moi la somme c'est 1+2+3+4+5+6+7+8...+44 or tu fais un autre raisonnement c'est pour cela que je te demande plus de précision ! (je suis lourd mais j'aime bien comprendre ce que je ne comprend pas dsl )

[LN1]

attention, il faut lire attentivement ce qui est écrit:
je n'ai pas dit "la somme de tous les entiers inférieur à 45"
j'ai dit "la somme des chiffres de tout entier < 45"

ce qui fait 45 calculs différents à effectuer
pour 29 par exemple, la somme des chiffres est 11
pour 30 par exemple, la somme des chiffres est 3

[Turn]

ha oki jai confondu chiffre avec nombre oki en faite c'est tout bête !!!

Je te remercie grandement d'avoir pris un peu de ton temps pour m'aider !!

Merci :++: :++: