Exercice congruence (term s maths spé)

[wuuw]

Bonjour à tous,
Je suis en terminale S et j'ai un exercice de spé maths à rendre lundi
Pouvez-vous m'aider?

On considère la suite (Un) d'entiers naturels définie par:
U0=14
U n+1=5Un -6

1) calculer u1, u2, u3 et u4
Quelle conjecture pouvez vous émettre concernant les deux derniers chiffres de l'écriture de Un?

2) Démontrer que pour tout n entier naturel,
U n+2 est congrus à Un (mod4)
Déduisez que pour tout entier naturel k,
U 2k est congrus à 2 (mod 4)
et U 2k+1 est congrus à 0 (mod 4)

3) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
2 Un = 5^(n+2) +3

4) Déduire que, pour tout entier naturel n,
2 Un est congrus à 28 (mod 100)

5) Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de Un suivant les valeurs de n.


J'ai déja fait la 1) on peut conjecturer que les deux derniers chiffres de Un varient de 14 à 64
Pour la 5, je pense que les deux derniers chiffres sont 14 quand n est impair et 64 quand n est pair mais je ne sais pas comment le prouver.

Pour le reste, je n'en ais aucune idée

Merci de votre aide.

[Manny06]

Bonjour à tous,
Je suis en terminale S et j'ai un exercice de spé maths à rendre lundi
Pouvez-vous m'aider?

On considère la suite (Un) d'entiers naturels définie par:
U0=14
U n+1=5Un -6

1) calculer u1, u2, u3 et u4
Quelle conjecture pouvez vous émettre concernant les deux derniers chiffres de l'écriture de Un?

2) Démontrer que pour tout n entier naturel,
U n+2 est congrus à Un (mod4)
Déduisez que pour tout entier naturel k,
U 2k est congrus à 2 (mod 4)
et U 2k+1 est congrus à 0 (mod 4)

3) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
2 Un = 5^(n+2) +3

4) Déduire que, pour tout entier naturel n,
2 Un est congrus à 28 (mod 100)

5) Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de Un suivant les valeurs de n.


J'ai déja fait la 1) on peut conjecturer que les deux derniers chiffres de Un varient de 14 à 64
Pour la 5, je pense que les deux derniers chiffres sont 14 quand n est impair et 64 quand n est pair mais je ne sais pas comment le prouver.

Pour le reste, je n'en ais aucune idée

Merci de votre aide.

calcule Un+2 en fonction de Un puis applique les congruences modulo 4

tu peux en deduire que Uncongru à U0 si n est pair et Un est congru à U1 si n est impair

[wuuw]

Oui c'est ce que j'avais fait et j'obtiens:
Un+2 = 25Un -36
Mais que dois-je faire avec ça?
comment utiliser la congruence mod 4?

[nodjim]

Rien qu'en lisant ce que tu as écrit, il est clair que U(n+2) et Un sont égaux modulo 4.

[Manny06]

Oui c'est ce que j'avais fait et j'obtiens:
Un+2 = 25Un -36
Mais que dois-je faire avec ça?
comment utiliser la congruence mod 4?

25congru à 1 mod 4
-36 congru à 0 mod4
en remplaçant
un+2 congru à Un mod 4

[wuuw]

Ah oui je vois mieux
Merci beaucoup
Une idée pour la 3?

[Manny06]

Ah oui je vois mieux
Merci beaucoup
Une idée pour la 3?

on te dit de le faire par récurrence,ça marche très bien

[wuuw]

C'est bien possible mais le problème est que je bloque au niveau de l'hérédité
Une idée?

[mathtiti]

C'est bien possible mais le problème est que je bloque au niveau de l'hérédité
Une idée?

Bon :
Si n=0, 2U0 = 28
or 5^(0+2) +3 = 28
Donc si n= 0 : 2Un = 5^(n+2) + 3

Un+1 = 5Un - 6
Un+1 = 5(5^(n+2) + 3)/2 - 6
Un+1 = (5^(n+1 + 2) + 15)/2 - 12/2
2Un+1 = 5^(n+1 + 2) + 15 - 12
2Un+1 = 5^(n+1 + 2) + 3

Donc si n=0, 2Un = 5^(n+2) + 3
et Si 2Un = 5^(n+2) + 3
alors 2Un+1 = 5^(n+1 + 2) + 3
Donc par récurrence, pour tout n de N, nous avons :
2Un = 5^(n+2) + 3

[wuuw]

Merci beaucoup à toi mathtiti
J'ai donc pu faire la 1, 2, 3 et j'ai de bonnes pistes pour la 5
En revanche, j'ai du mal pour la déduction de la question 4
Puis-je encore vous demander ce service?

[mathtiti]

voir petite modif. en gras pour bien marquer le raisonnement par récurrence...

[wuuw]

ok je te remercie

[wuuw]

Est-ce que quelqu'un aurait une suggestion pour la 4) ?