Exercice 1ere S suites

[LaylaManga]

Bonjour! J'ai un problème avec cette exercice :
On étudie l'évolution de deux fourmilières A et B . Chaque mois 20% de fourmis de la population A passent dans la fourmilière B et 30% des fourmis de la population B passent dans la fourmilière A.
On notera Un et Vn le nombre total de milliers de fourmis le mois n respectivement dans les fourmilieres A et B .
Le nombre initial de fourmis est U0=320 milliers et V0=180 milliers .

1) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

Un+1= 4/5Un +3/10Vn
Vn+1= 1/5Un +7/10Vn

2) On pose Sn = Un+Vn et Tn= -2Un+3Vn pour tout entier naturel n.
a) Montrer que la suite (Sn) est une suite constante et donner la valeur de cette constante.
b) Montrer que la suite (Tn), est une suite géometrique dont on donner les elements caracteristiques.

3) En déduire une expression de Un et de Vn en fonction de n.

4) A l'aide d'une calculatrice, afficher les 30 premières valeurs de la suite Wn =(1/2)^n pour tout entier naturel (ça je pense que je peux le faire maisun des soucis vient après) puis conjecturer la valeur de lim n->+infini (1/2)^n

5) En déduire lim n->+ infini Un et idem pour Vn

Si quelqu'un (voir plusieurs personnes) peut m'aider sur ça ce serait vraiment sympa de votre part !! Merci d'avance! ^^

[chombier]

Bonjour! J'ai un problème avec cette exercice :
On étudie l'évolution de deux fourmilières A et B . Chaque mois 20% de fourmis de la population A passent dans la fourmilière B et 30% des fourmis de la population B passent dans la fourmilière A.
On notera Un et Vn le nombre total de milliers de fourmis le mois n respectivement dans les fourmilieres A et B .
Le nombre initial de fourmis est U0=320 milliers et V0=180 milliers .

1) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

Un+1= 4/5Un +3/10Vn
Vn+1= 1/5Un +7/10Vn

2) On pose Sn = Un+Vn et Tn= -2Un+3Vn pour tout entier naturel n.
a) Montrer que la suite (Sn) est une suite constante et donner la valeur de cette constante.
b) Montrer que la suite (Tn), est une suite géometrique dont on donner les elements caracteristiques.

3) En déduire une expression de Un et de Vn en fonction de n.

4) A l'aide d'une calculatrice, afficher les 30 premières valeurs de la suite Wn =(1/2)^n pour tout entier naturel (ça je pense que je peux le faire maisun des soucis vient après) puis conjecturer la valeur de lim n->+infini (1/2)^n

5) En déduire lim n->+ infini Un et idem pour Vn

Si quelqu'un (voir plusieurs personnes) peut m'aider sur ça ce serait vraiment sympa de votre part !! Merci d'avance! ^^

Qu-as tu fait pour le moment ?

[LaylaManga]

Qu-as tu fait pour le moment ?

Eh bien la 1) j'ai calcul U1=310 et V1 = 190 mais ça ne m'apporte rien...
Pour la 2) j'ai voulu faire Sn+1 =Un+1 + Vn+1ce qui nous donne (4/5Un + 3/10 Vn) + (1/5Un + 7/10 Vn) ensuite j'ai fait S0 = U0 + V0 = 500 et ensuite j'ai fait S1 ce qui nous donne 500 aussi . après j'ai fais S1 -S0 =0 donc c'est constant.

Pour le b) j'ai juste fais Tn+1 =-2Un+1 + 3Un+1 ce qui donne -2(4/5 Un+1 + 3/10 Vn+1) + 3( 1/5 Un+1 + 7/10 Vn+1) mais ça ne m'amène a rien et le reste je n'y arrive pas du tout.. Donc voilà.....

[chombier]

Eh bien la 1) j'ai calcul U1=310 et V1 = 190 mais ça ne m'apporte rien...
Pour la 2) j'ai voulu faire Sn+1 =Un+1 + Vn+1ce qui nous donne (4/5Un + 3/10 Vn) + (1/5Un + 7/10 Vn) ensuite j'ai fait S0 = U0 + V0 = 500 et ensuite j'ai fait S1 ce qui nous donne 500 aussi . après j'ai fais S1 -S0 =0 donc c'est constant.

Pour le b) j'ai juste fais Tn+1 =-2Un+1 + 3Un+1 ce qui donne -2(4/5 Un+1 + 3/10 Vn+1) + 3( 1/5 Un+1 + 7/10 Vn+1) mais ça ne m'amène a rien et le reste je n'y arrive pas du tout.. Donc voilà.....

Ce n'est pas parce S0=S1 que S est constante. Qu'est-ce qui te prouve que S2=S1 ?

Tu était bien parti :
Pour tout entier n, Sn+1 = Un+1 + Vn+1 = (4/5Un + 3/10 Vn) + (1/5Un + 7/10 Vn)

Si tu simplifies cette expression, qu'obtiens-tu ?

[LaylaManga]

Ce n'est pas parce S0=S1 que S est constante. Qu'est-ce qui te prouve que S2=S1 ?

Tu était bien parti :
Pour tout entier n, Sn+1 = Un+1 + Vn+1 = (4/5Un + 3/10 Vn) + (1/5Un + 7/10 Vn)

Si tu simplifies cette expression, qu'obtiens-tu ?

Un + Vn? Mais sinon la 1) du coup ce que j'ai fais c'est bien ou pas?

[chombier]

Un + Vn? Mais sinon la 1) du coup ce que j'ai fais c'est bien ou pas?

oui, et que vaux Un + Vn ?

Pour la 1, ça ne va pas, mais j'ai la flemme de l'expliquer celle là, il faut faire des phrases :triste:

[LaylaManga]

oui, et que vaux Un + Vn ?

Pour la 1, ça ne va pas, mais j'ai la flemme de l'expliquer celle là, il faut faire des phrases :triste:

Sinon, pour la 2a) j'ai réussi a trouver Vn+1 et Un+1 mais je n'arrive pas a prouver que c'est constante.. J'ai pensé a faire SN+1-Sn mais ça me mène nul part ( si je ne me suis pas tromper) donc si je peux avoir de l'aide la dessus... Et pour la b) je trouve que TN+1 est 2fois plus grand que Tn mais comment voulez vous que je prouve qu'elle est géométrique et comment on fait pour trouver les éléments caractéristiques ( Uo et q normalement)? Par contre, la 3) on a essayer de m'aider et on m'a donné un système a 2 équations: Un+Vn=Sn =500 millions et -2Un +3Vn=Tn mais je ne comprend pas d'pou ça sort.. En plus, ce n'est pas vraiment en fonction de n si? Et pour la 4) et la 5) je n'ai aucune idée de comment il faut faire vraiment.... Merci bien de vouloir m'aider!!