Exercice de 1er S

[Victoria2203]

Bonjour à tous,
J'ai depuis hier planché sur un exercice de mon DM, mais rien à faire je ne trouve aucune solution.
Voilà le problème :

On admet que l'équation f(x)=x^3+x-1=0a au moins une solution, démontrer alors que l'équation admet une solution unique que l'on notera n. Démontrer que n appartient à l'intervalle [0;1].

Pouvez-vous m'aider ?

[chombier]

Bonjour à tous,
J'ai depuis hier planché sur un exercice de mon DM, mais rien à faire je ne trouve aucune solution.
Voilà le problème :

On admet que l'équation f(x)=x^3+x-1=0a au moins une solution, démontrer alors que l'équation admet une solution unique que l'on notera n. Démontrer que n appartient à l'intervalle [0;1].

Pouvez-vous m'aider ?

De quels outils disposes-tu ? Peux tu dériver, faire un tableau de variations, pour commencer ?

[Victoria2203]

De quels outils disposes-tu ? Peux tu dériver, faire un tableau de variations, pour commencer ?

Oui, j'ai déjà fait la dérivée et fait son tableau de variations donc si je fais le graphique de la fonction je peux prouver qu'il n'y a qu'une solution et qu'elle se situe entre 0 et 1 ? Cette justification suffira a ton avis ?

[laetidom]

Oui, j'ai déjà fait la dérivée et fait son tableau de variations donc si je fais le graphique de la fonction je peux prouver qu'il n'y a qu'une solution et qu'elle se situe entre 0 et 1 ? Cette justification suffira a ton avis ?

Bonjour à vous,
Juste un petit complément hors niveau (je vois que tu es en 1ère S) mais qui peut intéresser peut-être :
avec le bon théorème on prouve que n est entre 0 et 1 et comme on ne te demande pas de valeur approchée c'est ok....
pour info, n = 0.68231780381......(merci la calculatrice graphique !)
et on peut se rapprocher très précisément de cette valeur sur le papier avec la Méthode de la Dichotomie (=division en 2 ; opposition entre 2 choses dans le dictionnaire) très facilement et rapidement !....mais je l'ai vu en terminale E ! si ça vous dit....pour la culture et non pour le programme de 1ére (désolé).
Bonne après-midi

[chombier]

Oui, j'ai déjà fait la dérivée et fait son tableau de variations donc si je fais le graphique de la fonction je peux prouver qu'il n'y a qu'une solution et qu'elle se situe entre 0 et 1 ? Cette justification suffira a ton avis ?

Fais voir le tableau de variations. Utilises le pour prouver que la solution est FORCEMENT entre 0 et 1.

[rodolphe123]

Bonjour,

Normalement on réalise ce genre de démonstration avec le thm de la valeur intermédiaire vu en Terminale.
En première il faut utiliser la définition de la monotonie d'une fonction.

Rappel:
Si f est strictement croissante sur I alors, si xf(y)

D'après l'énoncé f(x) = 0 admet au moins une solution.
Soit n une solution de l'équation.

La foncion f est strictement croissante sur
d'où, pour
alors

d'où
(En effet, si n est solution de f(x)=0 alors f(n)=0)

Enfin , ,
idem pour au sens des inégalités près.

donc l'équation admet une solution unique n

[laetidom]

C'est juste pour votre info, car c'est le prog de term (théorème cité par Rodolphe123) :

f(0)=-1 et f(1)=1 _ _ _ y=f(x)=0 a 1 sol entre 0 et 1
f(0).f(1) <0 _ _ _ donc n élément de ]0;1[, je coupe l'intervalle en 2 et calcule f(0.5)
f(0.5)=-0.375 que je multiplie avec le f opposé donc positif précédent qui est f(1) :
f(0.5)=-0.375 * f(1)>0 _ _ _ donc n élément de ]0.5;1[, je coupe en 2, calcul f(0.75)
f(0.75)=0.17 * f(0.5)<0 _ _ _ donc n élément de ]0.5;0.75[, etc.
f(5/8)=-0.13 * f(3/4)>0 _ _ _ donc n élément de ]5/8;3/4[, etc.
f(11/16)=0.012 * f(5/8)<0 _ _ _ donc n élément de ]5/8;11/16[, etc.
f(21/32)=-0.061 * f(11/16)>0 _ _ _ donc n élément de ]21/32;11/16[, etc.

A ce stade là : n est compris entre 21/32 = 0.65625 et 11/16 = 0.6875, si l'on continue on va réduire l'écart entre ces 2 valeurs et avoir une valeur approchée plus intéressante de la valeur de n.
Voilà, je suis allé un peu plus loin pour diffuser un petit savoir complémentaire, sans prétention aucunement.
Bonne soirée à tous