Equations complexes.

[fpaco]

Bonjour, voici un exo que je n'arrive pas à finir. Je bloque à la question 3.
1. Résoudre dans l’équation


2. Résoudre dans l’équation


3. En déduire qu’il existe des réel A, B, C, D qu’on déterminera tels que
,

Pour la question 1) je trouve S={3+2i ; 1-i}
et pour la question 2) S={ 3+2i ; 1-i ; 3-2i ; 1+i}

Merci de votre aide

[Black Jack]

Bonjour,

1)

(z²-4z+5) - i(z+1) = 0
z² - z.(4+i) + (5-i) = 0

Delta = (4+i)² - 4(5-i) = 16 - 1 + 8i - 20 + 4i
Delta = -5 + 12i

D² = -5 + 12i avec D = a + i*b

a²-b²=-5
ab = 6
a²+b² = V(25+144) = 13

2a² = 8
a = +/-2 et b +/- 3

z1 = [(4+i) + (2 + 3i)]/2 = 3 + 2i
z2 = [(4+i) - (2 + 3i)]/2 = 1 - i
******
2)
(z²-4z+5)² + (z+1)² = 0
(z²-4z+5)² - (i.(z+1))² = 0
(z²-4z+5 - i(z+1)) * (z²-4z+5 + i(z+1)) = 0

a) (z²-4z+5 - i(z+1)) = 0 --> voir exercice 1 :
z1 = 3 + 2i
z2 = 1 - i

b)
(z²-4z+5 + i(z+1)) = 0
De manière analogue à la question 1 ... on arrive à :
z3 = 3 - 2i
z4 = 1 + i
*****
Solutions conformes aux tiennes.
(Il fallait en être sûr pour poursuivre de manière simple pour la question 3)

3)

On remarques que les équations des questions 2 et 3 sont les mêmes ... à ceci près que la seconde concerne les réels ...

(z-z1)*(z-z3) = (z-(3 + 2i)).(z-(3-2i)) = z² - 6z + 13

(z-z2)*(z-z4) = (z-(1-i)).(z-(1+i)) = z² - 2z + 2

Et donc :

(x²-4x+5)² + (x+1)² = (x² - 6x + 13)*(x² - 2x + 2)

[mathelot]

on peut remarquer que si z est solution de


alors le conjugué est solution de

[fpaco]

ok merci beaucoup de votre aide