Equation differentielle en term S

[Anonyme]

Bonjour!!

J'ai un petit problème pour un exercice.
Soit l'équation (E) y'=y(1-y)
on cherche les sloutions de cette équation qui ne s'annulent pas sur R.
Pour cele on pose z'=1/y
Vérifier que z'=-z+1 (E')

J'ai fait z'= (-y')/y²= [-y(1-y)]/y²= (-y+y²)/y²=(-1)/y² +1= -z+1

Quelles sont les fonctions solutions de (E')??
j'ai fait:
z'+z=1
solution de l'équation homogène S={C*exp(-x) ;C € R}
Solution particuliere de z'+z=1
1 est un polynome de degré 0 car c'est une constante (1)'=0
donc z(x)=1
d'ou S={C*exp(-x)+1 ;C € R}

En déduire les solutions de (E)
c'est là que je bloque... je ne vois pas comment procéder
Merci d'avance pour votre aide

[Anonyme]

On Sat, 6 Nov 2004 16:28:52 +0100, "F.B." wrote:

>Bonjour!!
>
>J'ai un petit problème pour un exercice.
>Soit l'équation (E) y'=y(1-y)
>on cherche les sloutions de cette équation qui ne s'annulent pas sur R.
>Pour cele on pose z'=1/y
c'est z=1/y
>Vérifier que z'=-z+1 (E')
>
>J'ai fait z'= (-y')/y²= [-y(1-y)]/y²= (-y+y²)/y²=(-1)/y² +1= -z+1
>
>Quelles sont les fonctions solutions de (E')??
>j'ai fait:
>z'+z=1
>solution de l'équation homogène S={C*exp(-x) ;C € R}
>Solution particuliere de z'+z=1
>1 est un polynome de degré 0 car c'est une constante (1)'=0
>donc z(x)=1
>d'ou S={C*exp(-x)+1 ;C € R}
>
>En déduire les solutions de (E)
y=1/z=1/(C*exp(-x)+1)
mais à mon avis il faut se limiter à C>=0
sinon y ne sera pas définie sur R (on veut y non nulle sur R)
puisque C*exp(-x)+1 pourra s'annuler une fois si Cc'est là que je bloque... je ne vois pas comment procéder
>Merci d'avance pour votre aide
>
>
>[/color]

[Anonyme]

"Marc Pichereau" a écrit dans le
message news: 418cfcf8.1045006@news.wanadoo.fr...
> On Sat, 6 Nov 2004 16:28:52 +0100, "F.B." wrote:
>[color=green]
> >Bonjour!!
> >
> >J'ai un petit problème pour un exercice.
> >Soit l'équation (E) y'=y(1-y)
> >on cherche les sloutions de cette équation qui ne s'annulent pas sur R.
> >Pour cele on pose z'=1/y
> c'est z=1/y
> >Vérifier que z'=-z+1 (E')
> >
> >J'ai fait z'= (-y')/y²= [-y(1-y)]/y²= (-y+y²)/y²=(-1)/y² +1= -z+1
> >
> >Quelles sont les fonctions solutions de (E')??
> >j'ai fait:
> >z'+z=1
> >solution de l'équation homogène S={C*exp(-x) ;C ? R}
> >Solution particuliere de z'+z=1
> >1 est un polynome de degré 0 car c'est une constante (1)'=0
> >donc z(x)=1
> >d'ou S={C*exp(-x)+1 ;C ? R}
> >
> >En déduire les solutions de (E)
> y=1/z=1/(C*exp(-x)+1)
> mais à mon avis il faut se limiter à C>=0
> sinon y ne sera pas définie sur R (on veut y non nulle sur R)
> puisque C*exp(-x)+1 pourra s'annuler une fois si C >
> >
> >Oui mais ensuite est ce qu'il faut que je remplace la valeur de y dans[/color][/color]
l'équation (E)????
>

[Anonyme]

On Sat, 6 Nov 2004 18:18:24 +0100, "F.B." wrote:

![color=green][color=darkred]
>> >
>> >J'ai un petit problème pour un exercice.
>> >Soit l'équation (E) y'=y(1-y)
>> >on cherche les sloutions de cette équation qui ne s'annulent pas sur R.
>> >Pour cele on pose z'=1/y
>> c'est z=1/y
>> >Vérifier que z'=-z+1 (E')
>> >
>> >J'ai fait z'= (-y')/y²= [-y(1-y)]/y²= (-y+y²)/y²=(-1)/y² +1= -z+1
>> >
>> >Quelles sont les fonctions solutions de (E')??
>> >j'ai fait:
>> >z'+z=1
>> >solution de l'équation homogène S={C*exp(-x) ;C ? R}
>> >Solution particuliere de z'+z=1
>> >1 est un polynome de degré 0 car c'est une constante (1)'=0
>> >donc z(x)=1
>> >d'ou S={C*exp(-x)+1 ;C ? R}
>> >
>> >En déduire les solutions de (E)
>> y=1/z=1/(C*exp(-x)+1)
>> mais à mon avis il faut se limiter à C>=0
>> sinon y ne sera pas définie sur R (on veut y non nulle sur R)
>> puisque C*exp(-x)+1 pourra s'annuler une fois si C> >
>> >
>> >Oui mais ensuite est ce qu'il faut que je remplace la valeur de y dans[/color][/color]
>l'équation (E)????[/color]
non, ce n'est pas nécessaire : la réponse à la question a été trouvée
(valeur de y )

bon évidemment à titre personnel
tu peux vérifer que les y trouvés ci-dessus
(y=1/(C*.....) )
sont effectivement solutions de l'équation initiale
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http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
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