[Term S] équation différentielle (Euler...)

[haricot29]

Coucou tout le monde, voila j'ai un exercice sur la méthode d'Euler, mais je n'ai pas trés bien saisie la méthode... Donc je n'arrive pas l'exo qui suit, mais néanmoins en cours on a fait un TD sur la méthode et l'on devait calculer les tangente por la solution approchée mais la je ne sais pas si c'est bon...
:hein:

Exercice :
On considere l'équation différentielle suivante qu'on appelera (E) :
y'=0.1y (10-y)
y=(0)=1

1/ Solution approché :
Tracer dans un repere orthogonal l'approximation de la solution fournie par la méthode d'euler sur l'intervalle [0;5] en subdivisnat l'intervalle en 10 (pas : h=0.5)
Unités: 2cm sur l'axe des abscisses et 1cm sur l'axe des ordonnées.
Le tableau suivant pourra etre complété par un tableur ou à l'aide de la calculatrice :

n . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Xn 0
Yn 1

2/Solution exacte :
Montrer que la fonction f définie sur R par f(x) = 10 / (1+9e^(-x)) est solution de (E).
Etuider la fonction f (limites, asymptotes, sens de variation) et tracer sa représentation graphique dans le repére précédent.

[haricot29]

Euh alors... Si je fais avec mon histoire de tangente je trouve:
n . 0
Xn 0
Yn 1

n . 1
Xn 0.5
Yn 1.5

n . 2
Xn 1
Yn 0.75

n . 3
Xn 1.5
Yn 1.125

Ma façon de faire :
équation tangente : y=f'(Xo) + (X-Xo) + f(Xo)
y= 1*(x-0)+1
=x+1

X1=0.5
Y1=X1+1=1.5

f(X1)= f'(X1)= environ 1.5
y= f'(X1)*(X-X1)+f(X1)
= 1.5(x-1.5)+1.5
= 1.5x-0.75

X2 = 1
Y2 = 0.75

etc... Alors ?

[haricot29]

Euh si vous plait quelqu'un pourrait m'aider me dire au moins si c'est ainsi qu'il faut procéder... :++: :--:
Merci d'avance !

[haricot29]

Euh alors si je comprends un peu, on peut écrire :
f'(x) = 0.1f(x)
f(0) = 1 d'ou f'(0) = 0.1

équation tangente : y=f'(x0) (x-x0) + f(x0)

on commence :
y = 0.1(x-0) +1
=0.1x + 1

donc x1 = 0.5 et y1 = 0.1x1 + 1 = 1.05

f(x1) = 1.05
f'(x1) = 0.105
y= f'(x1) (x-x1) + f(x1)
= 0.105x - 0.525 +1.05
= 0.105x + 0.525

donc x2 = 1 et y2 = 0.105x2 + 0.525 = 0.63

f(x2) = 0.63
f'(x2) = 0.063
y= f'(x2) (x-x2) + f(x2)
= 0.063x - 0.063 . 063
= 0.063x + 0.567

donc x3 = 1.5 et y3 = 0.063x3 + 0.567 = 0.6615

et je continue comme ça... C'est ça ?
:hein: :triste: :doh:

[Zebulon]

Bonjour,

y'=0.1y (10-y)
y=(0)=1

donc , et pas .

[haricot29]

ok alors,
f'(x) = 0.1 f(x) (10-f(x))
f(0)=1 et f'(0) =0

équation tangente : y=f'(x0) (x-x0) + f(x0)
donc y= 0 (x-0)+1
=1
dc x1 = 0.5 et y =1

f(x1)=1
f'(x1)= 1 ? ou pas car f'(0) et f(0) sont différent dc je sais pas si c'est ça ?
et je continu ainsi pour chasue point c'est ça ? :we: :hein:

[Zebulon]

Ca fait très longtemps que je n'ai pas vu cette méthode, mais il me semble qu'il faut procéder comme ça :
on sait que pour tout x, , et que f(0)=1.


1ère étape : en :
f(0)=1, .
Equation de la tangente en 0 :
.

2ème étape : en :
on ne connaît pas mais on connaît .
On calcule .
Donc .
On en déduit une équation de l'approximation de la tangente en 0,5 :
.

On continue comme ça de proche en proche :
(n+1)-ième étape : en :
on calcule , on calcule . On en déduit qui est une approximation de l'équation de la tangente en .

Compris ?

[haricot29]

Ok d'accord oui je vois ce que tu veux dire ! Merci beaucoup je cherche et je calcul tout ça et je reviens.... !!!!! :id:

[haricot29]

bon voyons si j'ai compris ton explication :
x1 = 0.5
y1 = 1.45

x2 = 1
y2 = 2.07

x3 = 1.5
y3 = 2.52

x4 = 2
y4 = 3.1575

voila au moins le début, je sais qu'il existe un moyen de programmer pour faire à la calculette, est ce que quelqu'un sait comment faire pour que je puisse vérifier mes résultats et puis ça pourra me servir plus tard, j'a iune Ti-83 plus donc si quelq'un sait m'expliquer.....

[haricot29]

SVP quelq'un peut me repondre comme ça je pourrais au moins finir la question n°1 !
Merci d'avance :id:

[Zebulon]

Bon allez, je me dévous pour refaire les calculs... Laissez-moi un peu de temps...

[haricot29]

Merci c'est super simpa de ta part Zebulon mais toi qui ma l'air à l'aise en maths tu ne sais pas comment on programme ça a la calculatrice ?! car c'est vrai que c'est plus facile et rapide pour vérifier... Mais encore merci je reviens dans une petite heure

[Zebulon]

Je trouve et mais je me suis peut-être trompée.

[Zebulon]

tu ne sais pas comment on programme ça a la calculatrice ?!

Non, ça fait très longtemps que je ne me suis pas servi d'une calculatrice. J'aurais pu retrouver si la mienne avait encore des piles (je crois que je l'avais laissée allumée pendant tout ce temps... :briques: )

[haricot29]

Non non c'est toi qui a raison je me suis trompée dans un calcul ! Merci

[haricot29]

Euh par contre pour ce qui est de la question n°2 j'avoue je ne vois pas trop comment faire pour montrer que c'est solution de E

[Zebulon]

Il suffit de calculer f'(x) et de montrer que pour tout x, f'(x)=0.1f(x)(10-f(x)).

[haricot29]

alors si je comprends bien :
f(x) = 10/(1+9exp(-x))
f'(x) = (u'v-uv') / v²

u(x)=10
u'(x)=0

v(x)=1+9exp(-x)
v'(x)= exp(-x)

C'est ça ?

[Zebulon]

v(x)=1+9exp(-x)
v'(x)= exp(-x)

Non, la dérivée de est donc .
Pourquoi ne pas utiliser directement la formule ?

[haricot29]

ça voudrais dire que f'(x) = (-9exp(-x) / (1+9e(-x))² ?! en prenant v'(x) / (v(x))²

C'est ça ? Après je developpe en haut ? ou alr je multiplie par l'inverse ?