[term S][équation différentielle]

[so-cerise]

Bonjour,

on me donne cet énoncé:

Soit (E) l'équation différentielle: y'' - y' - 2y = 0. le but de cet exercice est de déterminer une solution f de (E), 2 fois dérivable sur R et telle que f(0) = 0 et f'(0) = 1.

1) on pose: g = f' - 2f
a) vérifier que g est une solution de l'équation différentielle (E') : y' + y = 0 et g(0)=1. je bloque ici, pourriez vous me donner une méthode pour répondre à cette question, ou m'indiquer plusieurs pistes?

b) déterminer la fonction g

2) soit (E'') l'équation différentielle : y' - 2y = exp (-x)
a) démontrer que la fonction k définie sur R par k(x)= - 1/3 exp(-x) est une solution de l'équation (E'')

b) démontrer qu'une fonction h définie sur R est une solution de l'équation différentielle (E'') si, et suelement si, il existe une fonction u solution de l'équation différentielle y' - 2y =0 telle que h = k + u

c) déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' - 2y = 0 puis l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E'')

3) déduire de ce qui précède l'existence et l'unicité de la fonction f.

j'ai vraiment besoin d'aide, je suis carrément perdue...pouvez vous m'aider? merci!!

[rene38]

Bonsoir
1) a) g est une solution de l'équation différentielle (E') : y' + y = 0
signifie g'+g=0
Tu calcules g'+g et tu montres que g'+g=0
(en n'oubliant pas que f est solution de (E) y'' - y' - 2y = 0,
c'est à dire que f "-f ' -2f =0)
Tu vérifies également que g(0)=f '(0)-2f(0)=1

b) déterminer la fonction g : facile : solution de (E') : y' + y = 0