Equation dans R²

[Blisca]

Bonjour ,

On me pose ce problème :

Résoudre dans R² le système suivant :

xV2 + y = 4
x+yV2 = V18

on me donne cette indication :

*Si a = b = 0 S = R

Pourriez me donner une piste sur comment utiliser la formule ?

[bombastus]

Bonjour Blisca,

Je n'ai pas bien compris d'ou sort la formule que tu donnes : "*Si a = b = 0 S = R"? A quoi correspnd a et b? (ça a un rapport avec le déterminant du système?)

Sinon, ce système se résoud facilement par substitution ou par combinaison linéaire

[Blisca]

C'est marqué :

ax = b
Si a = b = 0 S = R

Je ne vois pas du tout ce que sont a et b ... ce n'est pas marqué .

Combinaison linéaire , ça veut dire que je dois faire comme ceci :

Si x = V2 et y = 4
Si x = V18 et y = V2

ou je dois faire multipiler la première ligne par un nombre ?

[bombastus]

C'est marqué :

ax = b
Si a = b = 0 S = R

Je ne vois pas du tout ce que sont a et b ... ce n'est pas marqué .

C'est une sorte de cours, c'est ça? ou bien c'est une indication pour l'exercice?
En fait je ne vois pas le rapport avec l'éxo...
"ax = b " est une l'expression générale d'une équation à une inconnue (qui est x) et avec 2 constantes (que l'on appelle a et b), et effectivement si a=b=0, l'équation devient 0=0, pas très intéressant quoi...

Combinaison linéaire , ça veut dire que je dois faire comme ceci :

Si x = V2 et y = 4
Si x = V18 et y = V2

ou je dois faire multipiler la première ligne par un nombre ?

Non, c'est un système d'équation à 2 inconnues :

As-tu déjà résolu ce genre de systèmes? (quel est ton niveau?)

[Blisca]

C'est juste une indication pour l'exercice .

Je passe en 1ère S cette année . J'étais absente pour cause de santé la quasi totalité de l'année , j'essaie de me rattraper pour la rentrée , j'ai déja fais 3 séquences sur 5 , il m'en reste 2 , les sytèmes et les fonctions .

[bombastus]

Ok, as-tu un cours sur les sytèmes?

je vais faire un résumé rapide sur la façon de résoudre un système avec un exemple, si tu as des questions n'hésite pas.

[Blisca]

Oui j'ai un cours , un livret de la cned mais je comprend pas tout ce qui est dit , il y a + d'exercices corrigés sans explication sur la procédure à suivre que de cours .

J'ai compris que pour trouver une equation dans R il faut l'ensemble des nombres réels quand l'égalité est vérifiée mais je sais pas comment on fait pour les trouver .

[bombastus]

Première chose le cas général :
Soit le système :

où x et y sont les inconnues que l'on cherche et a,b,c,a',b',c' sont les constantes.
(Dans ton exemple :
a=
b=1
c=4
a'=1
b'=
c'=)

Première chose à faire : calculer le déterminant du système qui va nous permettre de savoir si le système admet des solutions ou non.
Le déterminant est défini par :
a*b'-a'*b
Si a*b'-a'*b=0 alors le système admet soit une infinité de solution soit aucune solution
Si a*b'-a'*b0 alors le système admet un couple unique de solution.

Dans ton système :

à quoi est égal le déterminant? Combien y-a-t-il de solution?

Dans mon prochain message, je t'explique la méthode par substitution et par combinaison linéaire sur un exemple.

[Blisca]

Donc si je comprends bien :

a=V2
b=1
c=4
a'=1
b'=V2
c'=)V18


a*b'-a'*b

V2 X V2 - 1 X 1

Si V2 X V2 - 1 X 1 =0 alors le système admet soit une infinité de solution soit aucune solution .
ça fait V4² - 1 = 0 , non ?

Si V2 X V2 - 1 X 1 X 0 alors le système admet un couple unique de solution.

[bombastus]

Presque, calcule d'abord le déterminant :
Tu as
V2 X V2 - 1 X 1
tu peux donner la valeur exact de cette expression, non?
Combien ça fait V2 X V2?
donc V2 X V2 - 1 X 1 = .....

[Blisca]

ça fait 16-1 ? = 15

Ma mère me dit , que ça fait V4² ça fait 2 , moi je dis 16 ...

[Blisca]

ça fait 16-1 ? = 15

Ma mère me dit , que ça fait V4² ça fait 2 , moi je dis 16 ...

[bombastus]

Je pense que ta mère a raison (même si tu l'as mal écrit) :
V2 X V2 = V(2*2) = V(4) = V(2²) = 2
Donc à quoi est égal le discriminant? Donc combien de solution?

[xyz1975]

Bonjour,
Pour bombastus..
Ce que vous avez écrit est bon mais la notion de déterminant a été suprimée du programme du lycée, choisissez l'une des trois méthodes de résolution :
Combinaison, substitution ou alors comparaison, la meilleur ici c'est bien la méthode des combinaisons.

[Blisca]

2-1 = 1

je dira 2 solutions , 1 , 2 ...

c'est quoi discriminant ?

[bombastus]

c'est quoi discriminant ?

Pardon, je voulais mettre déterminant, discriminant c'est autre chose...
Le déterminant sert à savoir si le système possède des solutions, pas à trouver ces solutions.

Ici le déterminant est égal à 1 (et 10), donc on sait qu'il existe un couple unique solution du système, il reste à trouver ce couple.

Mon message suivant est un peu long et présente les deux méthodes pour résoudre ce système à travers un exemple. Lis-le attentivement et n'hésites pas à poser des questions si tu ne comprends pas.

@ xyz1975 : salut, je ne savais pas, j'ai donné un cours l'année dernière à une seconde et apparemment son prof faisait toujours le déterminant.

[bombastus]

Soit le système suivant :


Première chose : le déterminant est égal à 4*(-1)-3*2=-100 donc le système admet un couple unique de solution.

Méthode dite par substitution :
Il faut exprimer une variable en fonction de l'autre dans une équation et remplacer son expression dans la deuxième équation :
Par exemple si je prends l'équation (2) :
, alors j'obtiens :
Et je remplace y dans (1) :

J'obtiens une équation à 1 inconnue que je peux facilement résoudre :

J'ai donc trouvé la valeur de x, il me reste à trouver la valeur de y, pour cela on remplace x dans l'une des 2 équations :

Le couple de solution qui vérifie le système est donc :

Pour vérifier ce résultat, on peut replacer les valeurs de x et y dans les équations de départ.

Méthode dite par combinaison linéaire :
Pour cette méthode, on va chercher à additionner les équations afin d'éliminer une des deux variables :

On s'aperçoit que le coefficient devant y dans la première équation est 2, et qu'il est -1 dans la 2eme équation, on va donc multiplier la 2eme équation par 2 :

on a donc :
Le système devient :

Et maintenant si je fais la somme des 2 équations ((1)+(2)) :

Les y s'éliminent et il reste :

soit
et on finit comme avec la méthode par substitution :
on remplace x dans l'une des 2 équations :

Le couple de solution qui vérifie le système est donc :

Pour vérifier ce résultat, on peut replacer les valeurs de x et y dans les équations de départ.

Si tu as des questions n'hésite pas,sinon essaie d'adapter cette méthode à ton éxo.

[xyz1975]

Vous voulez résoudre le système suivant :

Par la méthode de combinaison, on va multiplier l'équation (1) par on obtient ainsi :


Il suffit alors d'additionner avec l'équation (2) après avoir multiplié la deuxième par 2 afin d'éliminer le x.

[xyz1975]

Le déterminant sert à savoir si le système possède des solutions, pas à trouver ces solutions.

Il sert à savoir si le système possède des solution et encore à trouver ces solutions!

@ xyz1975 : salut, je ne savais pas, j'ai donné un cours l'année dernière à une seconde et apparemment son prof faisait toujours le déterminant.

Toute la partie algèbre a été supprimée pour cela nos étudiant rencontrent des difficultés énnormes en première et deuxième année à la fac.

[Blisca]

-2x-V2y = -4V2
x + yV2² = V18


= -3x - V6y = -4V20

?