Équation dans R3

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
sarah12345
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Équation dans R3

par sarah12345 » 04 Aoû 2021, 22:16

Bonjour, j'espère que vous allez bien !

Il y a une question à laquelle je reste bloquée...

Nous avons un plan π d'équation : -4x + 5y - z = 3. Nous avons également une droite D d'équation : (x,y,z) = (7,-1,2) + t(12,-6,-2). La question est la suivante : Trouvez l'équation d'une droite entièrement dans π qui soit perpendiculaire à la droite D au point (40/3, -25/6, 17/8).

Merci de m'aider !



hdci
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Re: Équation dans R3

par hdci » 05 Aoû 2021, 10:25

Bonjour,

Il y a un problème d'énoncé, le point indiqué n'appartient pas au plan, il suffit de remarquer le signe des coordonnées :


Le point n'appartient pas non plus à la droite : en effet, en abscisse, si alors mais alors en côte on a (mais en remplaçant 8 par 18, le point n'est quand même pas dans le plan).

Sinon, après correction de l'énoncé : la droite recherchée sera l'intersection du plan avec le plan perpendiculaire à et passant par le point indiqué. En effet, toute droite de ce second plan est orthogonale à , donc perpendiculaire à si elles sont sécantes. Il n'y a donc qu'à trouver l'équation cartésienne de ce plan en utilisant le vecteur normal qui dirige la droite et le système formé des équations cartésiennes des deux plans donne l'équation cartésienne de la droite.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

catamat
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Re: Équation dans R3

par catamat » 05 Aoû 2021, 11:51

Bonjour

En effet il y a une erreur.
Le point dont on donne les coordonnées doit être dans et sur(D).
Si on cherche l'intersection du plan et de la droite (D) on trouve le point I(1,2,3).

On pourrait donc corriger l'énoncé en prenant ces coordonnées.

sarah12345
Membre Naturel
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Re: Équation dans R3

par sarah12345 » 06 Aoû 2021, 05:43

Merci à vous deux pour votre réponse !

Je vous montre l'énoncé directement :

Image

Grâce aux points A, B et C, j'ai déterminé l'équation normale du plan π -4x + 5y - z = 3. Ensuite, j'ai réécris l'équation D sous cette forme : (x,y,z) = (7,-1,2) + t(12,-6,-2). Ensuite, j'ai substitué x, y et z dans l'équation de π par leur valeur (7+12t, -1-6t et 2-2t respectivement). Finalement, j'ai trouvé t = 19/36 et j'ai pu calculer le point d'intersection (40/3, -25/6, 17/8).

J'ai revérifié mes calculs et je ne vois pas d'erreur !!! :cry:

Pisigma
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Re: Équation dans R3

par Pisigma » 06 Aoû 2021, 07:48

écris un peu le développement qui conduit au calcul de t car t est faux

tu devrais trouver

sarah12345
Membre Naturel
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Re: Équation dans R3

par sarah12345 » 06 Aoû 2021, 17:46

Pisigma a écrit:écris un peu le développement qui conduit au calcul de t car t est faux

tu devrais trouver

Bien sûr, voici ma démarche :

Image

Pisigma
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Re: Équation dans R3

par Pisigma » 06 Aoû 2021, 17:57

revois la 3e ligne après "En substituant, on obtient:" et tu verras où tu t'es trompé(e)

sarah12345
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Re: Équation dans R3

par sarah12345 » 06 Aoû 2021, 18:34

Pisigma a écrit:revois la 3e ligne après "En substituant, on obtient:" et tu verras où tu t'es trompé(e)

Ahhh oui merci je viens de voir mon erreur...

Maintenant que j'ai trouvé le point d'intersection (1,2,3), j'ai réussi à trouver la réponse à la question initiale. Voici ce que j'ai trouvé : (x,y,z) = (-1/3, 1/3, 0) + t(4,5,9)

(Pour ce faire j'ai considéré le vecteur directeur de la droite D comme le vecteur normal au plan recherché, j'ai calculé avec le point (1,2,3) pour trouver l'équation du plan normal à D : 12x-6y-2x = -6. Ensuite j'ai calculé le produit vectoriel des deux vecteurs normaux (-4,5,-1) et (12,-6,-2) et j'ai trouvé -4(4,5,9). Ensuite, pour trouver un point de la droite d'intersection, j'a posé z = 0 dans les deux équations des deux plans, j'ai trouvé le point (-1/3, 1/3, 0). Voilà !)

Black Jack
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Re: Équation dans R3

par Black Jack » 07 Aoû 2021, 11:02

Bonjour,

On a le plan d'équation : 4x - 5y + z + 3 = 0 (1)

Des relations du point a de l'énoncé, on tire :

y = 5/2 - x/2
et
z = -x/6 + 19/6

On remet ces résultats dans (1) --> 4x - 5(5/2 - x/2) - x/6 + 19/6 + 3 = 0
24x - 75 + 15x - x + 19 + 18 = 0
38x = 38
x = 1

y = 5/2 - 1/2 = 2
z = -1/6 + 19/6 = 3

P(1;2;3)
*********
vecteur directeur de la droite cherchée : (a ; b ; c)
12a - 6b - 2c = 0
6a - 3b - c = 0

On choisit par exemple a = 1 --> 3b + c = 6 ; c = 6 - 3b

Eq paramétriques de la droite cherchée :
x = 1 + t
y = 2 + b.t
z = 3 + (6 - 3b).t

Elle doit être dans le plan Pi
Donc le point (avec t = 1 par exemple) Q(2 ; 2+b ; 9 - 3b) doit appartenir à Pi.
4x - 5y + z + 3 = 0
8 - 5.(2+b) + 9 - 3b + 3 = 0
10-8b=0
b = 5/4

Eq paramétriques de la droite cherchée :
x = 1 + t
y = 2 + (5/4).t
z = 3 + (9/4).t
******
Résultats équivalent à ta réponse : (x,y,z) = (-1/3, 1/3, 0) + t(4,5,9)

8-)

sarah12345
Membre Naturel
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Re: Équation dans R3

par sarah12345 » 07 Aoû 2021, 15:51

Black Jack a écrit:Bonjour,

On a le plan d'équation : 4x - 5y + z + 3 = 0 (1)

Des relations du point a de l'énoncé, on tire :

y = 5/2 - x/2
et
z = -x/6 + 19/6

On remet ces résultats dans (1) --> 4x - 5(5/2 - x/2) - x/6 + 19/6 + 3 = 0
24x - 75 + 15x - x + 19 + 18 = 0
38x = 38
x = 1

y = 5/2 - 1/2 = 2
z = -1/6 + 19/6 = 3

P(1;2;3)
*********
vecteur directeur de la droite cherchée : (a ; b ; c)
12a - 6b - 2c = 0
6a - 3b - c = 0

On choisit par exemple a = 1 --> 3b + c = 6 ; c = 6 - 3b

Eq paramétriques de la droite cherchée :
x = 1 + t
y = 2 + b.t
z = 3 + (6 - 3b).t

Elle doit être dans le plan Pi
Donc le point (avec t = 1 par exemple) Q(2 ; 2+b ; 9 - 3b) doit appartenir à Pi.
4x - 5y + z + 3 = 0
8 - 5.(2+b) + 9 - 3b + 3 = 0
10-8b=0
b = 5/4

Eq paramétriques de la droite cherchée :
x = 1 + t
y = 2 + (5/4).t
z = 3 + (9/4).t
******
Résultats équivalent à ta réponse : (x,y,z) = (-1/3, 1/3, 0) + t(4,5,9)

8-)


Merciii !!! :D

 

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