Ensembles mathématiques + définitions logiques

[SigmaDelta]

Bonjour,

Si je me suis trompé de section, n'hésitez pas à déplacer mon message.

Je suis coincé dans un problème, n'ayant plus fait de maths depuis 15 ans et m'étant directement attaqué à la quantique et aux opérations extrêmement complexes de type équation de KG et dimension de Hausdorff, je dois repartir de zéro, car le système m'oblige à repasser le Bac avec des opérations-bébé genre intégrales et dérivées, simplement pour valider mes thèses doctorales.

Le problème est que je me paume dans les ensembles.

Need help !



J'aimerais, si possible, en partant de ce schéma, savoir quelle équation a pu rendre possible chaque ensemble. Par exemple, tout le monde sait très bien que i posé tel que i²=-1 a formé l'ensemble des Complexes.

J'ai cherché sur Internet, sans trouver de tableau clair.

1. J'aimerais si possible quelque chose de clair :

N = ... ?
Z = ... ?
D = ... ?
Q = ... ?
R = ... ?
C = i²=-1 ou (-i)²=-1

2. J'aimerais également connaître la place de :

• a) les nombres imaginaires (ni) dans les ensembles : est-ce un ensemble en dehors des ensembles ?
• b) est-ce que omega Ω (= 0,56...) a la même place que pi π (= 3,14...) dans l'ensemble R ? Sachant que π est Irrationnel et que Ω est une constante ;
• c) où se situent les fonctions Γ ou γ (gamma) - diΓ-diγ (digamma) ou dérivée algorithmique ψ (psi) - et Β (bêta) c'est dans les Complexes ou ailleurs ? (cf. intégrale d'Euler).
• d) où se situe le nombre e (constante de Néper = 2,71828) ? Dans D, si je ne m'abuse ?

En vous remerciant, amicalement et fraternellement,

_ΣΔ

[Black Jack]

Quelques infos par des exemples.

N : ensemble des nombres entiers naturels, exemples : 0 , 1 , 2 , 3 ... (donc nombres entiers >= 0)
Z : ensemble des nombres entiers relatifs, exemples : ... - 3, - 2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 ... (donc nombres entiers positifs ou négatifs)

Par là, il est évident que N est inclus dans Z

D : ensembles des décimaux (quasi exclusivement employé en France), c'est à dire des nombres qui peuvent s'écrire en écriture décimale avec une nombre fini de chiffres.
Par exemple : 134, -8,157 , 19,452187 , ... mais aussi par exemple 1/4 (puisqu'on peut l'écrire 0,25) ... mais pas par exemple 2/3 (car son écriture décimale comporte un nombre infini de chiffres (0,6666...) et pas non plus Pi qui est un nombre transcendant comportant une infinité de chiffres dans son écriture décimale 3,141593...

Par là, il est évident que Z est inclus dans D

Q : Ensembre des nombres relatifs, c'est à dire qu'il peuvent s'écrire sous la forme a/b avec a et b des entiers relatifs, par exemples :
1/4 , 2/3 , -178/43 , ... mais aussi par exemple 0,35 puisqu'on peut l'écrire sous la forme 35/10 (ou 7/5 ou 70/20 ...)

Par là, il est évident que D est inclus dans Q (en effet, tous nombre décimal (par ex 217,119 qui peut s'écrire sous la forme 217119/1000)

R : ensemble des nombre réels.
Cet ensemble inclut tous les précédents vus mais contient aussi des nombres comme Pi = 3,41592... , e = 2,71828... (nombre d'Euler) et tous les autres nombres qui comportent une infinité de chiffres dans leur écriture décimale (même si il est impossible de les écrire comme appartenant à Q)

Par là, il est évident que Q est inclus dans R

C : ensemble des complexes.
Un nombre complexe est de la forme A + i.B avec A et B des réels quelconques et i le symbole des "imaginaires", done avec la convention que i² = -1
A est appelé la partie réelle du nombre complexe et B est appelé imaginaire du nombre complexe.

Exemple d'un nombre complexe : 2,14 + 13,2.i

Dans le cas particulier où B = 0, le nombre complexe a une partie réelle (A) mais n'a pas de partie imaginaire), donc un nombre complexe A + i.B avec B = 0 est un nombre réel.

Par là, il est évident que R est inclus dans C

Les nombres complexes qui aurait un A = 0 serait donc de la forme B.i (imaginaire pur).

Donc l'ensemble des imaginaires purs est inclus dans l'ensemble C, cet ensemble (imaginaires purs) pourrait donc être représenté par une périmètre fermé que l'on placerait sur ton dessin dans l'espace compris entre tes "zones" C et R

On remarquera que le nombre 0 appartient à tous les ensembles vu précédemment.

[SigmaDelta]

Salut Black Jack,

Merci de ton explication, qui a le mérite d'être claire.

Pour voir si j'ai bien tout synthétisé, je vais essayer de répondre à mes propres questions.

On part du principe que N ⊂Z⊂D⊂Q⊂R⊂C, correct ?

a) les nombres imaginaires (ni) dans les ensembles : est-ce un ensemble en dehors des ensembles ?

=> Mon petit schéma rectifié devrait répondre à la question :



Est-ce que c'est correct de le schématiser de la sorte ? Ou bien peut-on dire que la partie imaginaire d'un complexe forme une sorte de double ensemble (ou ensemble double) dans le cas où la partie A = 0, et pas seulement une portion B.i de l'ensemble C comme sur mon schéma ?

b) est-ce que omega Ω (= 0,56...) a la même place que pi π (= 3,14...) dans l'ensemble R ? Sachant que π est Irrationnel et que Ω est une constante ;

=> {Ω ; π ; e} ∈R

Correct ?

c) où se situent les fonctions Γ ou γ (gamma) - diΓ-diγ (digamma) ou dérivée algorithmique ψ (psi) - et Β (bêta) c'est dans les Complexes ou ailleurs ? (cf. intégrale d'Euler).

=> {Γ ou γ ; diΓou diγ ; ψ ; Β ou β} ∈ du moins, je pense, puisqu'on ne touche à aucun complexe donc il n'y a aucun imaginaire là-dedans. Ils se situent par conséquent dans R.

Correct ?

d) où se situe la constante de Néper = 2,71828 ? Dans D, si je ne m'abuse ?

Là j'ai un grave problème. Parce que le nombre d'Euler n'est pas strictement égal à la constante de Néper. Donc si e ∈R, la constante de Néper appartient à D, puisque c'est un nombre décimal limité, au même titre que 5,3297 ou 0,002.

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Revenons-en aux équations ayant permis la formation des ensembles. Je n'ai qu'une réponse sur 6.

N = ... ?
Z = ... ?
D = ... ?
Q = ... ?
R = ... ?
C = i²=-1 ou (-i)²=-1

[Pseuda]

Bonsoir,

J'avais répondu, ça s'est perdu...

On n'introduit pas forcément les ensembles en résolvant une équation.

Seul N est introduit par des axiomes (de Peano). Les autres ensembles sont introduits rigoureusement par construction de Z jusqu'à C à l'aide d'outils mathématiques (relations d'équivalence, suites, matrices...). La construction de R à partir de Q est assez compliquée.

Mais en effet, à la base, les ensembles sont intuitivement pressentis en voulant résoudre une équation :
Z : n+x=p avec p<n (exemple : 5+x=2)
Q : p=qx avec q ne divise pas p (3x=7)
R : x^2=2
C : x^2=-1

D est un sous-ensemble de Q : ce sont les rationnels dont l'écriture décimale s'arrête (contrairement à Q avec son 1/3). On démontre que ce sont les fractions dont le dénominateur de la forme irréductible est un produit de puissances de 2 et de 5.

[Pseuda]

Pour répondre à tes autres questions, R comprend tous les nombres qu'on peut situer sur une droite, de -infini à +infini. Il comprend les rationnels et les irrationnels (par exemple des constantes remarquables : pi, e, constante d'euler, omega) ou la solution de l'équation 2^x-9x+ln(Vx)=0...

Les imaginaires purs (ib) est un sous-ensemble des complexes (mais ce n'est pas un sous-corps de C : i^2=-1). Les imaginaires (b=/=0) sont les complexes non réels (idem).

Je ne connais pas tes fonctions. Mais les fonctions et les nombres sont deux choses bien différentes.

[SigmaDelta]

D'accord ma très chère Pseuda ! Merci des approfondissements.

Je m'interrogeais récemment sur l'ubiquité en mathématiques, donc sur la dimension de Hausdorff de X.

Et je ne sais plus exactement dans quel univers on travaille.

On recouvre l'espace X au moyen d'une réunion dénombrable de parties notées Ai, chacune étant de diamètre inférieur à r. Le fait d'utiliser une majoration du diamètre permet de prendre des parties arbitrairement petites, par exemple s'il s'agit de recouvrir une partie dénombrable de X, et de minimiser ainsi le rôle d'une telle partie dans le calcul de la dimension de X. Pour tout s réel positif ou nul, on considère la quantité .

Plus précisément, souhaitant avoir un recouvrement le plus économique possible, on introduit la quantité :



La fonction est décroissante, ce qui assure l'existence d'une limite (éventuellement infinie) quand on fait tendre r vers 0. D'où la définition :



Où H^s est une mesure s-dimensionnelle.

On vérifie que si Hs(X) est fini alors, pour tout t > s, Ht(X) = 0 et que si Hs(X) > 0 alors, pour tout t < s, Ht(X) est infini.

Il existe donc forcément un nombre séparant les nombres s pour lesquels Hs(X) = 0 de ceux pour lesquels Hs(X) est infini.

Ce nombre est la dimension de Hausdorff de X.

On pose donc :



Ce qui m'agace, c'est que je ne sais plus dans quel univers on travaille, car on doit faire appel à différents ensembles et différentes dimensions, dans un univers s-dimensionnel. Je commence à lourdement m'égarer.

Je sais qu'on bosse avec des complexes dès le départ, donc on est bien dans C. Mais un ensemble peut-il être s-dimensionnel ? Et ce fameux nombre (dimension de Hausdorff de X), on le situe dans quel ensemble ? Est-ce qu'il existe des hyper-complexes ?

Navré si c'est une question de noob ou une question complètement à côté de la plaque, dans ce petit hors-sujet.

Cordialement,

_ΣΔ

[Black Jack]

Dans le nombre complexe (A + i.B), A et B sont des nombres réels.

Ton schéma d'ensembles corrigé n'est donc pas correct.

L'ensemble des "A" des nombres complexes est confondu avec l'ensemble R.

Tout comme l'ensemble des "B" des nombres complexes est confondu avec l'ensemble R.

L'ensemble des imaginaires purs (de la forme i.B, à ne pas confondre avec B) serait par exemple comme l'ensemble que j'ai dessiné en rouge.

Sans titre.gif (19.89 Kio) Vu 1308 fois

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b) est-ce que omega Ω (= 0,56...) a la même place que pi π (= 3,14...) dans l'ensemble R ? Sachant que π est Irrationnel et que Ω est une constante ;

Pi est aussi une constante, comme dailleurs e ... mais c'est sans importance.

Ce sont tous des nombres réels

Si leur écriture décimale demande une infinité de chiffres et qu'on ne peut pas les mettre sous la forme a/b (avec a et b des entiers relatifs), alors ces nombres appartiennent à R et pas à Q.
Si on veut les situer sur ton dessin, il faudrait les insérer dans l'espace compris entre l'ensemble R et l'ensemble Q.


d) où se situe la constante de Néper = 2,71828 ? Dans D, si je ne m'abuse ?

Tu te trompes, e = 2,71828 n'est qu'un arrondi du nombre, ce nombre comporte en fait une infinité de chiffres, on a e = Somme(depuis n=0 jusque +oo) 1/n!

et donc le nombre e a une infinité de chiffre et il est impossible de la mettre sous la forme a/b (avec a et b des entiers relatifs), donc "e" est un réel mais n'appartient pas à Q, il se situerait donc sur ton dessin ans l'espace compris entre l'ensemble R et l'ensemble Q.

[SigmaDelta]

Merci pour la correction, Black Jack ! Ca commence à s'éclaircir dans ma tête. J'ai besoin de tout structurer avant de commencer à m'attaquer à d'autres choses : on ne construit pas un maison sur des fondements pourris, et encore moins un château sur du sable.

Alors concernant mon problème de dimension Hausdorff de X ?

Ce qui m'agace, c'est que je ne sais plus dans quel univers on travaille, car on doit faire appel à différents ensembles et différentes dimensions, dans un univers s-dimensionnel. Je commence à lourdement m'égarer.

Je sais qu'on bosse avec des complexes dès le départ, donc on est bien dans C. Mais un ensemble peut-il être s-dimensionnel ? Et ce fameux nombre (dimension de Hausdorff de X), on le situe dans quel ensemble ? Est-ce qu'il existe des hyper-complexes ?

CF mon développement juste avant ton post.

Cordialement,

_sd

[Ben314]

SI tu veut mon avis, ben avant de chercher à comprendre ce qu'est la dimension de Hausdorff d'un espace, tu ferait mieux de commencer par acquérir les bases des mathématiques qui sont indispensable à la compréhension d'un tel truc.
La "filiation logique", pour aboutir à la dimension de Hausdorff, c'est
(1) Notion de fonctions de R dans R + Notion (propre, donc pas celle du Lycée) de continuité.
(2) Bases d'algèbre linéaire : espaces vectoriels ; sous espaces vectoriels ; bases ; dimension d'un e.v.
(3) Avec (1) et (2) tu peut aborder le B-A-BA de la topologie sur R^n : espace vectoriel normé; normes équivalentes ; continuité des fonctions de R^n dans R^m ; rudiment de topologie (ouverts, fermés, éventuellement compacts).
(4) Généralisation des notions vu au (3) : espace métriques, topologie issue d'une métrique (donc topologie induite) notion de continuité entre espaces métriques + approfondissement de topologie : compacité ; connexité ; connexité par arc ; ensemble discrets, etc...

Si tu ne possède pas toute ces bases là (et il faut même bien les maitriser, y compris les cas bizarres styles l'ensemble de Cantor dans R pour comprendre l'intérêt de la notion), alors un truc comme la dimension de Hausdorff, ça ne peut être que du charabia et tu ne risque même pas de comprendre quel est le but de la construction en question.

Sinon, si tu veut des réponses précises à tes questions :

- L'espace X dont on calcule la dimension de Hausdorff, c'est un espace métrique (c.f. point (3) çi dessus) et ça n'a strictement rien à voir avec la notion de nombre complexe.
L'exemple "typique" d'espace métrique, c'est une partie de R^n, par exemple une "courbe" de R^2, la sphère de R^3 ou je sais pas quelle partie de R^5, etc...

- La dimension de Hausdorff de l'espace métrique X, c'est un nombre réel positif et pas du tout un truc "bizarre et saugrenu". Pour des espaces métriques "simples", c'est même un nombre entier : un point tout seul, c'est de dimension 0 ; une droite (du plan ou de l'espace, ça ne change rien) c'est de dimension 1, une courbe "régulière", c'est aussi de dimension 1 ; un plan ou la sphère de R^3, c'est de dimension 2 et, plus généralement, une surface "régulière" de R^3, ça va être de dimension 2 ; etc etc.
Par contre là où ça se corse (et c'est à ça que sert la dimension de Hausdorff), c'est qu'il existe des ensembles (par exemples des parties de R^2) dont la dimension est non entière (le Tapis de Sierpiński est de dimension ln(8)/ln(3) soit environ 1,89) c'est à dire qu'il est plus "épais" qu'une simple courbe, mais "pas assez gros" pour être une surface. Donc si tu doit mesurer des truc concernant ce fameux tapis, ça ne sera ni des longueur (comme on le fait pour un segment ou la circonférence d'un cercle) ni des surfaces (comme on le fait pour un carré où un disque ou une sphère).
Ce que dit le fameux truc dont tu parle concernant le "tout ou rien" de Hausdorff (la mesure est soit 0, soit l'infini), ça te dit par exemple que si tu cherche "combien de mètres" il y a dans le tapis de de Sierpiński, la réponse est "autant qu'on veut" comme elle le serait si tu demandait "combien de mètres" il y a à l'intérieur d'un disque (vu qu'on peut tracer à l'intérieur d'un disque des courbes dont la longueur est arbitrairement grande).
Par contre si tu te demande "combien de mètres carrés" il y a dans le tapis de de Sierpiński, alors là la réponse est "zéro" comme elle le serait si on te demandait "combien de mètres carrés" il y a dans un segment de droite ou dans un cercle (=périmètre d'un disque).
Donc cette loi du "tout ou rien" de Hausdorff, elle ne dit absolument rien de métaphisico-je-sais-pas-quoi concernant des hyperdimensions infinie. Ce qu'elle dit, c'est que si tu prend un truc qui mesure 5 mètres carrés et que tu as l'idée (saugrenue) de te demander combien le même truc mesure en mètres alors la réponse est "autant qu'on veut" et que si par contre on te demande combien ce même objet mesure en mètres cube alors la réponse est "zéro".
En résumé, quand on comprend ce que ça raconte ce truc de mesure de Hausdorff, ça semble on ne peut plus évident et naturel (et c'est là qu'on voit les danger de donner ce type de lecture à quelqu'un qui n'a pas les bases pour les comprendre : ça devient "magique" voire "divin" exactement comme l'étaient au moyen age tout les phénomènes qu'on ne comprenait pas...)

Bref, si on veut rester dans les images "simples", ce que ça permet de faire, c'est de parler d'unité de mesures qui serait (strictement) comprise entre le mètre m et le mètre carré m².
Si on doit mesurer le tapis de Sierpiński (ou un morceau du tapis), l'unité de mesure, ça va être du mètre exposant 1,89, c'est à dire un truc compris entre le mètre (unité de mesure des longueurs) et le mètre carré (unité de mesure des surface).
Et concernant "l'ensemble dans lequel on travaille", par exemple pour le tapis de Tapis de Sierpiński, ben c'est simplement R^2, c'est à dire le plan sur lequel au collège on commence à te faire tracer de simples droites et des cercles... Sauf que là, le tapis, c'est un peu plus compliqué à dessiner qu'une droite ou un cercle.