Encadrer un quotient

[laetidom]

Bonjour @ tous,

Pouvez-vous me dire où je fais une erreur ? :


Encadrement de f(x) :




========METHODE 1=================
si



(I)

=========================

si





(II)
=========================
Maintenant, je calcule (I) fois (II) :





Or, graphiquement je constate qu'il doit y avoir une erreur de calcul et que je devrais plutôt obtenir :



non ??????.......




========METHODE 2 (pour confirmer ou infirmer)=================

Calcul de f ' (x) pour avoir son signe : il est toujours < 0,


pour

on a car f est strictement décroissante sur [2 ; 3]

donc




========CONCLUSION=========

Vu que la méthode 2 et ce que je constate sur le graphe concordent, je pense que le bon résultat est celui-ci,

le calcul (méthode 1) est celui de la correction en cours, le professeur se serait-il trompé ? . . .

Merci pour tout éclaircissement !

Bonne journée @ tous !

[pascal16]

Ne confond pas encadrement et encadrement exact.
Je pense que c'est même le but de l'exercice.

pour 0<x<1
-1<-x<0
0<1-x<1
donc
0<x(1-x)<1
si tu traces la courbe, elle ne varie que de 0 à 0.25 !

pourquoi ?
la valeur de x où f(x)=x est maximale et la valeur de x pour laquelle g(x)=(1-x) est maximale ne sont pas les même.
Le produit des bornes de encadrements oublie cette distinction.
L'encadrement reste vrai, on a bien 0<x(1-x)<1.
on dit que 1 est UN majorant de x(1-x) sur ]0;1[, alors que 0.25 est LE maximum (et il est unique) de x(1-x) sur ]0;1[.

Le maximum d'un fonction est définie par :
(1)_ toutes les autres valeurs de la fonction lui sont inférieur ou égale.
(2)_ c'est une valeur prise par la fonction

L'encadrement ne garantie le point (2).

PS, j'ai mis à jour mon profil pour mettre Angoulême en localisation, j'habite à 30km.

[laetidom]

Merci Pascal pour cette réponse rapide de qualité,

Ne confond pas encadrement et encadrement exact : d'accord !!, effectivement je ne faisais pas de distinguo !!
Je pense que c'est même le but de l'exercice : c'est un exercice de la classe de seconde, donc le résultat du prof est juste alors ?! Il a obtenu un minorant et un majorant et non le minimum unique et le maximum unique, c'est ça ?

Donc dans ce genre d'exercice le but est de trouver un encadrement de minorant/majorant et s'il s'agissait de minimum/maximum (uniques) ça serait clairement explicité, c'est ça !? . . ..

pour 0<x<1
-1<-x<0
0<1-x<1
donc
0<x(1-x)<1
si tu traces la courbe, elle ne varie que de 0 à 0.25 !

pourquoi ?
la valeur de x où f(x)=x est maximale et la valeur de x pour laquelle g(x)=(1-x) est maximale ne sont pas les même.
Le produit des bornes de encadrements oublie cette distinction. d'accord
L'encadrement reste vrai, on a bien 0<x(1-x)<1.
on dit que 1 est UN majorant de x(1-x) sur ]0;1[, alors que 0.25 est LE maximum (et il est unique) de x(1-x) sur ]0;1[.

Le maximum d'un fonction est définie par :
(1)_ toutes les autres valeurs de la fonction lui sont inférieur ou égale.
(2)_ c'est une valeur prise par la fonction

L'encadrement ne garantie le point (2).


Sur internet, dans certains exercices [ex : (x+1) / (x² + 4) ], il est vu "d'autorité" la deuxième méthode, donc ça signifie que l'on ne trouvera jamais de minorant/majorant mais toujours le minimum/maximum unique, c'est ça ? ...



PS, j'ai mis à jour mon profil pour mettre Angoulême en localisation, j'habite à 30km : excellent !! Un Charentais !! Je comprends maintenant le 16 affecté à ton pseudo !!

[laetidom]

Pourquoi dans certains exercices, par le calcul direct (méthode1) on tombe directement sur le couple minimum/maximum unique et dans d'autres on tombe sur le couple minorant/majorant ????
Qu'est-ce qui explique cela ????? .....


. . . le calcul et résultat du professeur est-il juste (méthode 1) ???

[pascal16]

Si f et g sont positives et ont leur maximum pour la même valeur de x, le maximum de f*g sera celui calculé dans l'encadrement.

Si f et g positives et croissantes, le maximum/minimum de f*g est évidement le produit des valeurs encadrantes

Oui, la méthode du prof est juste, le résultat est "ce que peux faire de mieux la méthode". Réduire la fonction à 2 valeurs n'est pas aussi précis qu'étudier sa dérivée sur un intervalle, donc une infinité de valeurs .

T'es dans quel lycée ?

[zygomatique]

salut

le pb c'est que tu encadres le quotient d'une fonction croissante par une fonction décroissante ...

la (seule (sans passer par la dérivée) et) meilleure façon de faire est de passer par la forme canonique d'une fonction homographique

et pour me simplifier les calcul je vais le faire avec



il faut alors remarquer que :

1/ g est monotone décroissante sur l'intervalle [2, 3] donc on obtient exactement le min et le max qui sont obtenus aux bornes de l'intervalles

2/ sans monotonie et avec l'expression de f tu obtiens un majorant et un minorant : le quotient de la plus grande valeur du numérateur par la plus petite valeur du dénominateur et le quotient de la plus petite valeur du numérateur par la plus grande valeur du dénominateur ... seulement ces extrêmes du numérateur et du dénominateur n'ont pas lieu pour la même valeur de x (au contraire de ma méthode ou la méthode dérivée)

ce qui conduit à ces deux résultats ... qui sont tous les deux exacts ...


et avec des fonctions plus compliquées au numérateur et eu dénominateur (pas de monotonie surtout ta méthode peut même conduire à un encadrement faux ...

[laetidom]

Merci à vous pour toutes ces belles infos !!! Je vais réfléchir à tout ça, merci !!

T'es dans quel lycée ?

. . . oh la la, le lycée est bien loin, j'étais au LTN de Ma Campagne ! Je fais des maths par passion, à mon niveau, par altruisme en essayant modestement de travailler l'aspect pédagogique . . . chacun amène sa pierre avec sa singularité propre issue de son parcours personnel unique . . .