Droites concourantes

[hugo07]

Bonjour,
ca fait une semaine que je me casse la tete sur ce DM sur les vecteurs.
quelqu'un peut-il m'aider ?
voici le sujet:
ABC est un triangle quelconque
A',B' et C' sont les milieux respectifs des segments [BC],[AC] et [AB]
D et E appartiennent au segment [AB] et C' est le milieu de [DE]
F et G appartiennent au segment [BC] et A' est le milieu de [FG]
H et I appartiennent au segment [AC] et B' est le milieu de [HI]
Enfin, P est le milieu de [ID], Q est le milieu de [EF] et R est le milieu de [GH]
Quelqu'un affirme : les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes
Qu'en pensez-vous ?
merci d'avance

[pascal16]

Geogebra dit oui .

[hugo07]

merci de ta réponse mais pour mon devoir je dois le démontrer peux tu m'aider ?

[pascal16]

j'ai pas vu de façon simple de le démontrer.
On peut toujours se lancer dans des calculs d'intersection de 3 droites avec 3 paramètres, mais ça parrait très long. Il faut donc tracer la figure et trouver les implications.
Il semble que vectoriellement AP+BQ+CR=0

[Pseuda]

Bonsoir,

As-tu vu les barycentres ? Parce qu'avec les barycentres ce genre d'exercices est facile.

[hugo07]

oui mais je ne vois pas comment utiliser les barycentres pour résoudre mon exercice...

[Ben314]

Salut,
Si on le fait avec des barycentres (on peut aussi le faire avec un repère adapté, voire uniquement avec des égalités vectorielles si on a pas vu les repères quelconques, mais c'est vrai que c'est plus joli avec des barycentres) :
On prend
Comment s'expriment alors les autres points sous forme de barycentre ?
Par exemple, il est barycentre de quoi affecté de quoi comme coeff. ?

[hugo07]

Je crois que ton niveau est trop haut pour moi je ne sais pas utiliser les barycentres comme tu le fais mais merci de ta réponse.
Est-ce que tu penses que si je prouve que vectoriellement AP+BQ+CR=0 alors les droites sont concourantes ?

[Ben314]

Non, ça ne risque pas de prouver quoi que ce soit vu que ces trois vecteurs donnent uniquement les directions des trois droites et qu'il est bien évident que si on ne connait que leurs directions, ben on risque pas de savoir si trois droites sont concourantes ou pas.

[hugo07]

Peux-tu m'aider à démontrer que les droites sont concourantes avec des égalités vectorielles?
Merci d'avance

[Pseuda]

Tu peux faire avec les égalités vectorielles tout comme avec les barycentres.

On prend un point O (quelconque) et on exprime les propriétés. Par exemple A' milieu de [BC] s'exprime (en vecteurs) OB+OC=2 OA'.

[hugo07]

je vais essayer avec ce que tu m'as dit j'ai pas le temps de le faire aujourd'hui mais je te poste ma réponse dès que j'ai essayé.
Encore merci pour tes conseils

[maelys01]

Salut je voulais savoir si pour pouvoir résoudre ce problème on pouvais utiliser des calculs avec des coordonnées d'intersections pour pouvoir trouver justement où les trois droites se croisent et après rechercher une propriété qui nous permette de justifier notre réponse et dire enfin qu'elles sont concourantes ?

[hugo07]

Bonjour,
je sais que A' milieu de [BC] s'exprime (en vecteurs) OB+OC=2OA'
alors C' milieu de [AB] s'exprime (en vecteurs) OA+OB=2OC'
et B' milieu de [AC] s'exprime (en vecteurs) OC+OA=2OB'
mais comment utiliser ces propriétés pour démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes?
Merci d'avance

[Ben314]

Si on le fait avec des vecteurs (c'est exactement la même chose qu'avec des barycentre, sauf que c'est un peu plus long à écrire, mais ça demande moins de dextérité : l'associativité des barycentres n'est pas toujours simple à utiliser).
Vu l'énoncé, on sait qu'il existe trois réels tels que .
Ensuite, pour mener les calculs sans trop se poser de questions, on a intérêt à tout écrire en prenant un "point de base", par exemple le point et en utilisant systématiquement les mêmes vecteurs, par exemple et (en fait, ça s'appelle un "repère", mais on s'en fout).
Par exemple, pour les 3 points , ça donnerais :



Ensuite, ben il faut faire la même chose pour tout les autres points :
On sait que est le milieu de mais aussi de donc et on en déduit que

etc...

[hugo07]

Bonsoir, j'ai trouvé que (vecteurs)AP=c/2 AB + b/2 AC
BQ=(-a/2 -c/2)AC + a/2 AC
et CR=(-b/2 -a/2)AC +a/2 AB
mais après je ne vois pas comment continuer!
Merci d'avance

[Ben314]

Ensuite, ça se complique : il faut écrire qu'un point M est sur la droite (AP) si et seulement si on a pour un certain réel c'est à dire .
Et ce même point M est sur la droite (BQ) si et seulement si on a pour un certain réel c'est à dire .
Pour avoir les deux en même temps, il suffit d'avoir ainsi que .
En supposant , la deuxième équation donne et la première dit alors que soit et donc .
L'intersection de (AP) et (BQ) est dont le point M tel que .
Reste à vérifier qu'il est aussi sur la droite (CR), c'est à dire que le vecteur est un multiple du vecteur .