Divisibilité par 11

[francoismrls]

Bonsoir a tous, j'ai besoin de votre aide pour un exercice de spé maths, si vous pouviez au moins me donner une piste pour savoir ou commencer.. merci d'avance ! =)

On considère un entier a défini par son écriture décimale a=a^na^n-1...a^0 avec a^n pas égal a 0

a= (a^n)*(10^n)+(a^n-1)*(10^n-1)+...+(a^1)*10+a^0

On dira que le rang du chiffre ak ( d'indice k ) est égal à k

1) Démontrer qu'un entier est divisible par 11 si et seulement si la somme de ses chiffres de rang pair diminuée de la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par 11

2) L'entier 15374876926816 est il divisible par 11?

3) Déterminer les multiples de 11 compris entre 1000 et 9999 dont la somme des chiffres est égale à 11

PS : j'ai crois avoir déjà resolu la derniere question mais je ne sais toujours pas comment montrer mon raisonnement.

[L.A.]

Bonjour,

explique un peu plus ce que tu as fait pour le moment, à partir de là on pourra t'aider :zen:

[francoismrls]

Bonjour,

explique un peu plus ce que tu as fait pour le moment, à partir de là on pourra t'aider :zen:

Comme j'ai dit j'ai juste répondu a la question 3) en admettant la propriété de la question 1) :

a+b+c+d=11
On pose b=d=0
Donc a+b=11

si a=9 alors b=11-9=2
etc....

Les réponses sont :
9020
8030
7040
6050
5060
4070
3080
2090.

Mais j'aimerais bien avoir une piste pour les premieres questions svp :lol3:

[capitaine nuggets]

Bonsoir a tous, j'ai besoin de votre aide pour un exercice de spé maths, si vous pouviez au moins me donner une piste pour savoir ou commencer.. merci d'avance ! =)

On considère un entier a défini par son écriture décimale a=a^na^n-1...a^0 avec a^n pas égal a 0

a= (a^n)*(10^n)+(a^n-1)*(10^n-1)+...+(a^1)*10+a^0

On dira que le rang du chiffre ak ( d'indice k ) est égal à k

1) Démontrer qu'un entier est divisible par 11 si et seulement si la somme de ses chiffres de rang pair diminuée de la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par 11

2) L'entier 15374876926816 est il divisible par 11?

3) Déterminer les multiples de 11 compris entre 1000 et 9999 dont la somme des chiffres est égale à 11

PS : j'ai crois avoir déjà resolu la derniere question mais je ne sais toujours pas comment montrer mon raisonnement.

Salut !

Si tu parles d'écriture décimale de , tu devrais plutôt avoir un truc de la forme :

[CENTER],[/CENTER]

où quel que soit et .

1) Pour , à quoi peut-être congru modulo ? Sachant qu'on va faire la somme après, trouve une congruence qui semble répondre à l'attente de la question :++:

2) D'après les formules données précédement :

[CENTER][/CENTER]

où et .

Donc est divisible par si et seulement si est divisible par .

[francoismrls]

Salut !

Si tu parles d'écriture décimale de , tu devrais plutôt avoir un truc de la forme :

[CENTER],[/CENTER]

où quel que soit et .

1) Pour , à quoi peut-être congru modulo ? Sachant qu'on va faire la somme après, trouve une congruence qui semble répondre à l'attente de la question :++:

2) D'après les formules données précédement :

[CENTER][/CENTER]

où et .

Donc est divisible par si et seulement si est divisible par .

Hola !
Oui c'était plus une forme d'écriture comme celle-ci mais je ne savais pas comment la retranscrire par ordinateur

Donc si j'essaye de comprendre

pour k pair
10^k == 1 (11)
a(k)*10^k == a(k) (11)

pour k impair
10^k == -1 (11)
a(k)*10^k == -a(k) (11)

Est-ce la bonne voie ? mais je ne vois pas ou cela me mène

Meci pour l'aide a la question mais ce ne serait pas plus a(14)=1 plutot que a(13) ? Je compte 14 chiffres

[L.A.]

1) Sahant que chaque puissance de 10 vaut plus 1 ou moins 1 modulo 11, tu peux en déduire que n'importe quel entier est congru à quelque chose de plus simple modulo 11.
Rmq : c'est un peu le même principe modulo 3 ou modulo 9.

2) il y a bien 14 chiffres mais capitaine nuggets à commencé sa numérotation à 0.

3) Je suis d'accord avec tes solutions, mais comment sais-tu qu'il n'y en a pas d'autres ? qu'est-ce qui te permet de poser b=d=0 ?

On veut a+b+c+d=11 avec a,b,c,d entiers compris entre 0 et 9, a différent de 0, et

a-b+c-d=0 [11]

en posant x=a+c et y = b+d, on a en particulier un système

x+y = 0 [11]
x-y = 0 [11]

sans oublier que x+y = 11. Combine et vois ce que tu peux en dire...

[capitaine nuggets]

Hola !
Oui c'était plus une forme d'écriture comme celle-ci mais je ne savais pas comment la retranscrire par ordinateur

Donc si j'essaye de comprendre

pour k pair
10^k == 1 (11)
a(k)*10^k == a(k) (11)

pour k impair
10^k == -1 (11)
a(k)*10^k == -a(k) (11)

Est-ce la bonne voie ? mais je ne vois pas ou cela me mène

Meci pour l'aide a la question mais ce ne serait pas plus a(14)=1 plutot que a(13) ? Je compte 14 chiffres

1) Oui, tu es sur la bonne voie. Il ne te reste plus qu'à sommer tous les chiffres d'indices pairs et impairs et tu obtiens ton résultat.
2) Il y a quatorze chiffres dans l'écriture décimale, mais le premier terme et de la forme et le dernier est de la forme (prend de plus petit nombre si tu ne comprends pas bien : avec , , et ).

[francoismrls]

1) Oui, tu es sur la bonne voie. Il ne te reste plus qu'à sommer tous les chiffres d'indices pairs et impairs et tu obtiens ton résultat.
2) Il y a quatorze chiffres dans l'écriture décimale, mais le premier terme et de la forme et le dernier est de la forme (prend de plus petit nombre si tu ne comprends pas bien : avec , , et ).

Okéoké !
Merci a vous et vos lumières pour m'avoir éclairer je verrais ce que je peux faire demain mais je suis déjà bien avancé ! Gracias :zen:

[capitaine nuggets]

Okéoké !
Merci a vous et vos lumières pour m'avoir éclairer je verrais ce que je peux faire demain mais je suis déjà bien avancé ! Gracias :zen:

De nada y buenas noche :lol3: