Démontrer la divisibilité d'une expression par récurrence

[lequa]

Bonsoir j'ai un petit problème de compréhension en ce qui concerne un correction de ce cacul

"Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, 4^n −1 est divisible par 3."

dans la correction j'arrive à 4^n+1 -1 = 3(4p+1) (donc ça pas de souci je comprend comme on arrive ici mais)
a la ligne suivante j'ai : 4^n+1 -1 = 3p'

Que signifie p' ? et pourquoi 4p+1 disparaît ?

Merci pour votre temps !

[pascal16]

initialisation : 4^n −1 divisible par 3 : vrai
supposons que pour un rang n donné, on ait 4^n −1 divisible par 3

on a alors 4^(n+1) −1 = 4*4^n -1 = 4 (4^n -1) +3

par hypothèse au rang n : 4^n -1 est divisible par 3, il s'écrit donc 3p, avec p entier positif

4^(n+1) −1 = 4 (3p) +3 = 3(4p+1)

posons p' = 4p+1, p' est entier

on a finalement 4^(n+1) −1 = 3p', avec p' entier

donc l'hypothèse est vérifiée au rang n+1

[Lostounet]

Bonsoir j'ai un petit problème de compréhension en ce qui concerne un correction de ce cacul

"Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, 4^n −1 est divisible par 3."

dans la correction j'arrive à 4^n+1 -1 = 3(4p+1) (donc ça pas de souci je comprend comme on arrive ici mais)
a la ligne suivante j'ai : 4^n+1 -1 = 3p'

Que signifie p' ? et pourquoi 4p+1 disparaît ?

Merci pour votre temps !

Bonjour,
Mon petit frère a eu la même question à son examen mais il ne l'a pas réussi.

Ce qu'il faut faire c'est bien comprendre la récurrence.

Soit : 3 divise . Cela revient à dire qu'il existe un entier k tel que
On souhaite prouver la propriété au rang n+1 donc partir de et prouver que 3 divise donc qu'il existe un autre entier k' tel que

On sait que pour passer de 4^n à 4^(n+1) il faut multiplier par 4.

Donc si on suppose que 3 divise 4^n+1 cela veut dire (par définition) qu'il existe un entier k tel que;
(supposition)

Maintenant vu qu'on veut faire apparaitre 4^(n+1) on multiplie les deux membres par 4.
Donc



Donc
Donc en ajoutant 3 aux deux membres
Donc avec k'=4k+1

On a donc bien montré que 4^(n+1)-1 est de la forme 3k' aussi...