Démonstration divisibilité par 11

[scorpio087]

Bonjour à tous,

en observant un peu les multiples de 11, j'ai trouvé une méthode pour savoir simplement si un nombre est divisible par 11.
Il suffit d'oter le chiffre des unités puis de le soustraire au nouveau nombre ainsi trouvé,il faut ensuite recommencer cette opération jusqu'à trouver un nombre à 2 chiffres.Si ce dernier est un multiple de 11, alors le nombre de base est multiple de 11...

Par exemple avec le nombre "108 395 782":

10 839 578 - 2 = 10 839 576

1 083 957 - 6 = 1 083 951

108 395 - 1 = 108 394

10 839 - 4 = 10 935

1 083 - 5 = 1 078

107 - 8 = 99

99 est divisible par 11 donc 108 395 782 est un multiple de 11.En effet :

108 395 782 / 11 = 9854162

Ce calcul ici détaillé est très simple et très rapide, de plus il marche a chaque coup.
Mon problème est que j'ai eut beau chercher, je n'ai pas trouvé de trace de cette méthode dans un livre et je n'en trouve pas non plus la démonstration,
donc si quelqu'un la connait cette dernière ou la trouve...merci de la partager

[Antho07]

Un nombre qui s'écrit en base 10 vaut en base 10:



Or si p est paire:

car:

et

si p est impaire



car

et

donc revenons maintenant à la valeur de notre nombre (on suppose n paire)

donc





Donc si cette somme la est divisible par 11, le nombre est congru à 0 modulo 11 donc divisible par 11.

VOilà en esperant avoir été compréhensible .

j'espere que tu as vu les congruences (elles sont étudiés en terminal dans la specialité mathematique)

bon si tu les as pas (encore?) vu :

on dit que

si les reste dans la division euclidienne de a par m vaut b,
ou de maniere equivalent si m divise (a-b)

de plus si
et

alors

et



voila pour quelques propriétés des congruences que j'ai utilisé