Différentielle

[niko973]

Bonjour à tous,

Voici mon problème:

f(x)= (2x)/(x²-1) Df=R-{-1;1}

1/ Trouver deux réels a et b tels que pour tout x dans R-{-1;1}, f(x)=(a/x+1)+(b/x-1)

Pour cette question je trouve a=b=1

2/ n est un entier naturel non nul. A l'aide du résultat précédent, donnez l'expression de f^(n)(x)

La je sèche :cry:

Merci d'avance pour votre précieuse aide

[Monsieur23]

Donc en fait, si tu poses g(x) = 1/(x+1), pour x != 1, tu cherches g^(n) (x).

Tu pourrais commencer par calculer les dérivées pour n=1,2,3...
Ca te donnerai une idée de ce que tu dois trouver.

Ensuite, une petite récurrence, et le tour et joué.

( Évidemment, la méthode est exactement la même pour 1/(x-1) )

[niko973]

Je ne peut pas le faire avec la fonction f(x)=2x/(x²-1) ? Je suis obligé d'utiliser la décomposition?

De plus, pour x=1 g(x)=1/2. Je ne vois pas en quoi cela revien à calculer g^(n) (x)...

je trouve:

g'(x)=-1/(x+1)²

g''(x)=(2)/(x+1)^3

g^(3)(x)=6/(x+1)^2

[Monsieur23]

Ben c'est 'achement plus facile avec la décomposition.

Et puis, si on te demande de la faire, c'est sûrement que ça sert à quelque chose.

Sinon, x!=1, ça veut juste dire que la fonction g est définie pour tout x différent de 1.

Donc tu poses : g(x) = 1/(x+1) et h(x) = 1/(x-1).
Donc tu as f^(n) (x) = g^(n) (x) + h^(n) (x), et il est facile de calculer g^(n) et h^(n)..

Voilà.

[niko973]

ce que je ne comprend pas c'est ujustement comment calculer g^(n) et h^(n)!!!

:hein:

[Monsieur23]

g'(x)=-1/(x+1)²

g''(x)=(2)/(x+1)^3

g^(3)(x)=6/(x+1)^2

Ton g^(3) est faux.

g^(3) (x) = -6/(x+1)^4

Tu pourrais par exemple emettre l'hypothèse que

Tu n'as plus qu'à montrer ça par récurrence !

[niko973]

Le montrer par récurrence??? Et comment fait-on cela :we:


C'était mon g^(3)x qui m'induisait en erreur je n'arrivais pas a trouver de relations :we:

[Monsieur23]

En quelle classe es-tu ?

Tu as déjà vu le raisonnement par récurrence ?

Tu le montres pour n=1, et ensuite tu montres que si , alors

[niko973]

Terminale S mais le chapitre sur les suites de l'an dernier a était assez boulversé :we: . Je vois ce que c'est c'est juste la formulation qui me perturbait. Comme quoi ce n'est pas encore entièrement claire dans ma tête.

Mais dans le cas présent le raisonnement par récurrence ne se fait-il pas avec (n-1) et pas (n+1)??? Puisque f^(n)=(f^(n-1))'. Je me trompe :id: ?

Merci de votre aide

[Monsieur23]

Ben tu le fais comme tu veux.

Soit tu montres que si ça marche au rang (n-1), ça marche au rang n.
Soit tu montre que si ça marche au rang n, ça marche au rang (n+1).

( Ce qui en soi, ne change rien ;) )

[niko973]

Je ne comprend pas comment tu trouve cela :s. j'ai essayé ça marche mais je ne pourrais pas retrouver tout seule le dénominateur...

[Monsieur23]

Ben pour le dénominateur, tu vois bien que tu as (x+1), (x+1)^2,(x+1)^3, etc.

Donc c'est facile de conjecturer que ça sera (x+1)^(n+1).


Il te reste quand même à faire h(x) !

[niko973]

Pour le numérateur pardon :girl2:

[Monsieur23]

Ah !

Ben d'abord, tu vois que le signe change une fois sur 2. D'où le (-1)^n

Ensuite, chaque fois que tu vas dériver, tu auras l'exposant qui va devenir une constante multiplicatrice.
Et donc, ça fera n!.

Enfin ça aide quand même quand tu connais les factorielles ( Si tu vois 1, 2, 6, 24, 120, etc, ça te saute aux yeux ;) )

[niko973]

daccord. Je ne connaissait pas les factorielles qu'est-ce-que c'est?

[Monsieur23]

Ah ok.

Comme définition rigoureuse de la factorielle :



En fait, pour faire simple : n! = n(n-1)(n-2)...*2*1

[niko973]

Daccord. Ca me dit quelque chose :we:. Pour h(x)^(n) c'est exatctement pareil sauf que c'est (x-1) pas (x+1)?

et pour f(x) je fais comment? Je laisse sous la forme g(x)+h(x) ou je peux développer etc ...?

[Monsieur23]

oui, pareil pour h(x).

Et tu peux laisser f^(n) (x) sous la forme g^(n) (x) + h^(n) (x)

[niko973]

Salut,


J'ai fait des essaies. Et TA formule de h^(n)(x) ne marche que jusqu'à n=2... après ce n'est plus valable si? Pour n=3 je trouve:

-3/(x+1)^4 alors que je devrais trouver -6/(x+1)^4


N'y a t-il pas un problème quelque part?

[Monsieur23]

Si, y'a un problème quelque part.

Tu t'es trompé dans ta dérivée 3ème, c'est tout ;)

h"(x) = 2/(x-1)^3

Donc h"'(x) = 2 * (x-1) ^(-3)
Donc h"'(x) = 2*(-3)*(x-1)^(-4) = ce qu'il faut

;)