Dériver des fonctions usuelles

[sebirt]

Bonjour, j' ai un DM sur les nombres dérivés mais je ne comprends pas les questions ci-dessus:

Soit f(x)= x^3 (fonction cube)

1) Déterminer l' approximation affine de f en 1.
réponse selon moi: c' est une fonction cube donc f'(a)= 3a² soit f'(1)= 3 et f(1)=1 donc y=f'(1)(x-1)+f(1)= 3(x-1)+1= 3x-2

2)En déduire une valeur approchée de (1+h)^3 pour h voisin de 0.
réponse selon moi: il faut calculer le nombre dérivé de f en 1 donc
lim f(1+h)-f(1)/h= lim (h²+3h+3)= 3
h=>0 h=>0
Je ne l' ai pas fait dans le 1) car dans le deux on le demande

3)a) Montrer que (1+h)^3-1-3h= 3h²+h^3
réponse selon moi: j' ai simplement développer (1+h)^3-1-3h pour trouver 3h²+h^3

b) En déduire que pour 0 est égal ou inférieur a h qui est égal ou inférieur a 1,
0 est inférieur ou égal à (1+h)^3-1-3h égal ou inférieur a 4h²
La je ne vois pas du tout le rapport entre la question a), j' ai essayé de multiplier les membres mais je ne trouvais pas cet encadrement. aidez moi s.v.p

4) Donner de tête une valeur approchée de 1.01^3. Quelle est la précision de cette approximation.
réponse selon moi: De tete cela donne 1.000001 et sa précision est 10^-6 mais je pense que c' et faux puisque la réponse n' a aucun rapport avec les dérivés je pense qu' il faut utiliser les autres réponses aiez moi s.v.p

Merci de m' avoir lu, j' espere que vous me répondez rapidement.

[Noemi]

Soit f(x)= x^3 (fonction cube)

1) Déterminer l' approximation affine de f en 1.
réponse selon moi: c' est une fonction cube donc f'(a)= 3a² soit f'(1)= 3 et f(1)=1 donc y=f'(1)(x-1)+f(1)= 3(x-1)+1= 3x-2 juste

2)En déduire une valeur approchée de (1+h)^3 pour h voisin de 0.
Il faut en déduire, soit utiliser la réponse précédente : soit y = 3(1+h)-2 = 3h+1

3)a) Montrer que (1+h)^3-1-3h= 3h²+h^3
réponse selon moi: j' ai simplement développer (1+h)^3-1-3h pour trouver 3h²+h^3 juste

b) En déduire que pour 0 est égal ou inférieur a h qui est égal ou inférieur a 1,
0 est inférieur ou égal à (1+h)^3-1-3h égal ou inférieur a 4h²
Si 0 <= h <= 1, alors 0 <= h^3 <= h^2
et 0 <= 3h²+h^3 <= 4h²

4) Donner de tête une valeur approchée de 1.01^3. Quelle est la précision de cette approximation.
1,01^3, h = 0,1 et h^2 = 0,01, soit 4h^2 = 0,04
donc une approximation de 1,01^3 au centième
Si on prend 3h²+h^3, on trouve 1,0304 qui est une approximation à 10^(-4).

[sebirt]

Merci Noemi pour ta réponse rapide. Mais il ya es choses que je ne comprends pas :(. Dans la 2) c' est quoi la formule de départ qui te donne cela moi je connais une formule qui donne le meme résultat :
y=f'(a)h+f(a)= 3h+1
C' est la meme réponse mais ta formule utilisée a l' air différente de la mienne

Et dans ta réponse du 3)a):
Si 0 <= h <= 1, alors 0 <= h^3 <= h^2
et 0 <= 3h²+h^3 <= 4h²

ce ne serait pas?:
Si 0 <= h <= 1, alors 0 <= h^3 <= h^2
et h² <= 3h²+h^3 <= 4h²

et enfin dans la 4), Je ne comprends pas comment tu es arrivé à cette conclusion. Peux tu m' expliquez assea clairement s' il te plait. Merci

[sebirt]

SVP passez par mon sujet et dites moi si les réponses de noemi sont correctes et expliquez moi comment y parvenir svp

[Noemi]

Question 2c : J'utilise la réponse de la question précédente
Tu as démontrer que si x voisin de 1, f(x) voisin de 3x - 2
Soit si h voisin de 0 f(h+1) voisin de 3(h+1)- 2 = 3h +1

Question 3)a):Ici on cherche un encadrement de 3h²+h^3
Si 0 <= h <= 1, alors 0 <= h^3 <= h^2
D'ou 3h²+h^3 < = 4h²
et 0 <= 3h²+h^3 <= 4h²

Question 4), (1+h)^3-1-3h= 3h²+h^3
Soit (1+h)^3 = 1 + 3h + 3h^2 + h^3 <= 1+3h + 4h^2
Pour 1,01^3 ; h = 0,1
Soit (1+0,01)^3 voisin de 1 + 3*0,01 + 4*0,0001 = 1,0304 à 10^(-4) près

[sebirt]

pour la question 2), ma formule que j' utilise est donc juste non?
3)b)Si 0 <= h <= 1, alors 0 <= h^3 <= h^2 la je comprends tu multiples les membres par h²
D'ou 3h²+h^3 < = 4h² la tu rajoute +3h² mais si on fait ça on doit rajouter 2h² a 0 non?
et 0 <= 3h²+h^3 <= 4h² donc la on trouve normalement 2h²<=3h²+h^3 <=4h²

ensuite pour la question 4)
Soit (1+h)^3 = 1 + 3h + 3h^2 + h^3 <= 1+3h + 4h^2 il sort d' ou le 1+34+4h²

et ensuite je ne comprends plus la suite il faut aussi avouer que avec les symboles du calvier je ne suis plus. peux tu essayer de m' expliquer mieux la question 4) et la 3) je ne vois pas l' égalité

[Noemi]

Pour la question 2 )
quand tu écris : y=f'(a)h+f(a)= 3h+1 qu'elle valeur prends tu pour a ?

3)b)Si 0 <= h <= 1, alors 0 <= h^3 <= h^2 la je comprends tu multiples les membres par h²
D'ou 3h²+h^3 < = 4h² la tu rajoutes +3h² mais si on fait ça on doit rajouter 2h² a 0 non?
et 0 <= 3h²+h^3 <= 4h² donc la on trouve normalement 2h²<=3h²+h^3 <=4h² oui mais comme h² >= 0, alors 2h² >= 0

ensuite pour la question 4)
tu as démontrer que : (1+h)^3-1-3h= 3h²+h^3 <= 4h^2
soit (1+h)^3-1-3h <= 4h^2 et (1+h)^3 <= 1 + 3h + 4h^2
Pour 1,01^3 ; h = 0,01
Soit (1+0,01)^3 voisin de 1 + 3*0,01 + 4*0,0001 = 1,0304 à 10^(-4) près

[sebirt]

Pour la question 2) a=1
question 3) j' ai enfin compris, merci =)
question4)
je dois faire un truc du genre (je ne connais pas le terme de "voisin" jamais entendu)
lim un truc du genre?
h=>1
et ça sort d' ou 1 + 3*0,01 + 4*0,0001 = 1,0304 à 10^(-4) près

[Noemi]

tu as démontré que : (1+h)^3-1-3h= 3h²+h^3 <= 4h^2
soit (1+h)^3-1-3h <= 4h^2 et (1+h)^3 <= 1 + 3h + 4h^2

Pour calculer 1,01^3 ; c'est (1+0,01)^3 avec h = 0,01
Comme (1+h)^3 <= 1 + 3h + 4h^2, je remplace h par 0,01
Soit (1+0,01)^3 <= 1 + 3*0,01 + 4*0,01^2
= 1 + 0,03 + 0,0004 = 1,0304 à 10^(-4) près

[sebirt]

Merci, tu m' as aidé pendant 1h30 c' est un exploit. merci beaucoup je pense avoir tout compris à bientot