Dérivée d'ordre n

[dadaclecle]

Bonjour ,
en guise d'application du théorème sur les racine d'ordre n d'un polynôme P(x) on me demande de trouver la relation qui doit lier p et q pour que l'équation x(au cube) + px + q = 0 ait une racine double.
Je tourne en rond !
Merci pour votre aide.

[siger]

bonsoir

si a est une racine double de l'equation on doit avoir
x^3 +px +q=( x-a)^2 *q(x) = 0
avec q(x) = mx+n

.......

[dadaclecle]

bonsoir

si a est une racine double de l'equation on doit avoir
x^3 +px +q=( x-a)^2 *q(x) = 0
avec q(x) = mx+n

.......

Je suppose que q(x) est plutôt Q(x) ? Je trouve que q/p = a*2/5 ! Pas franchement convainquant !
Et puis, j'ai simplement utilisé le développement sans utiliser les résultats sur les dérivées multiples !
C'est curieux car pour l'exercice suivant : x^4 + ax^3 + cx + d = 0 sachant que cette équation ait une racine triple = -1 ça marche très bien. Où est le trick dans l'exercice précédent ?
Merci

[siger]

re

x^3+px+q=(x-a)²*(mx+n)
= mx^3+x²(n-2am) +x (ma²-2na)+a²n
soit
m=1
n-2ma=0
ma²-2na=p
a²n=q
ou
p=-3a²
q= 2a^3
d'ou la condition pour que a soit racine double 4p^3 + 27q²=0

quant a la methodet par derivées multiples, j'ai , je l'avoue, oublié depuis le temps!!......mais le même raisonnement est evidemment valable
a toi de voir......

[dadaclecle]

re

x^3+px+q=(x-a)²*(mx+n)
= mx^3+x²(n-2am) +x (ma²-2na)+a²n
soit
m=1
n-2ma=0
ma²-2na=p
a²n=q
ou
p=-3a²
q= 2a^3
d'ou la condition pour que a soit racine double 4p^3 + 27q²=0

quant a la methodet par derivées multiples, j'ai , je l'avoue, oublié depuis le temps!!......mais le même raisonnement est evidemment valable
a toi de voir......

Merci, j'arrive à suivre pour trouver p et q en fonction de a et j'étais arrivé au même résultat ! Mais d'où vient la condition 4p^3 + 27 q² = 0 ?

[siger]

Re

en eliminant a entre les equations p=-3a² et q= 2a³
a^6 = (-p/3)³ = (p/2)²

on a un systeme de 4 equations liant 5 inconnues a, m,n p et q
on doit donc avoir une equation supplementaire, c'est a dire une relation entre les inconnues pour resoudre le systeme....
et l'on choisit la relation entre p et q

ce qui conduit à pouvoir calculer p,q,m, n et ...a en utilisant le systeme
m = 1
n -2am =0
ma² -2na = p
a²n = q
4p³+27q²=0

[dadaclecle]

Re

en eliminant a entre les equations p=-3a² et q= 2a³
a^6 = (-p/3)³ = (p/2)²

on a un systeme de 4 equations liant 5 inconnues a, m,n p et q
on doit donc avoir une equation supplementaire, c'est a dire une relation entre les inconnues pour resoudre le systeme....
et l'on choisit la relation entre p et q

ce qui conduit à pouvoir calculer p,q,m, n et ...a en utilisant le systeme
m = 1
n -2am =0
ma² -2na = p
a²n = q
4p³+27q²=0

Merci, je vois mieux maintenant. Je n'aurais pas vu seul qu'il fallait prendre la puissance 6 de a !
Cordialement

[zygomatique]

http://www.ilemaths.net/sujet-demonstrations-662035.html

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