Dérivée d'ordre n
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dérivée d'ordre n
par Dinozzo13 » 23 Mar 2010, 04:35
Bonjour, j'aimerais savoir comment démontrer l'expression de la dérivée d'ordre 
de la fonction 
définie sur 
par : =\frac{1}{\cos x})
, car lorsque je dérive, j'obtiens des trucs horriblement long, merci d'avance ^^.
par mathelot » 23 Mar 2010, 06:11
Bonjour,
avec
}=cos(x)+sin(x) tan(x))
et formule de dérivation d'un produit de Leibniz à l'ordre n:
^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} \, (_k^n) u^{(k)}v^{(n-k)})
or, dériver un sinus ou un cosinus, c'est ajouter
à son argument.
}(x)=cos(x+n \frac{\pi}{2})+\sum_{k=0}^{n} \, (_k^n) tan^{(k)}(x)sin(x+(n-k) \frac{\pi}{2}))
le problème équivaut à calculer les dérivées successives de la fonction tangente
comme=1+tan^2(x)=P_1(tanx))
avec=X^2+1)
, la dérivée k-ième de tangente
est un polynôme de la quantité tan(x)
)
avec =X)
}(x) = 1+tan^2(x) = P_1(tanx))
avec
}(x)=P_n(tanx))
et la formule de récurrence sur les polynômes
 =(1+X^2) P_n'(X))
malheureusement, ces polynômes n'ont pas une expression explicite
agréable...
avec
et formule de dérivation d'un produit de Leibniz à l'ordre n:
or, dériver un sinus ou un cosinus, c'est ajouter
à son argument.
le problème équivaut à calculer les dérivées successives de la fonction tangente
comme
avec
est un polynôme de la quantité tan(x)
et la formule de récurrence sur les polynômes
malheureusement, ces polynômes n'ont pas une expression explicite
agréable...
dérivée n-ième de tan(x)
par mathelot » 23 Mar 2010, 08:45
re,
si
la récurrence
)
)
à la calculatrice
l'intruction expand(D(P,x)*(x^2+1))->P
donne
la suite des coefficients est répertoriée dans l'annuaire de Sloane
A101343
si
la récurrence
à la calculatrice
l'intruction expand(D(P,x)*(x^2+1))->P
donne
la suite des coefficients est répertoriée dans l'annuaire de Sloane
A101343
par mathelot » 23 Mar 2010, 09:46
re,
autre possibilité
=\frac{1}{cos(x)})
=\frac{sin(x)}{cos^2(x)})
=\frac{1+sin^2(x)}{cos^3(x)})
}(x)=\frac{sin^3(x)+5sin(x)}{cos^3(x)})
on montre par une récurrence immédiate qu'il existe une suite
de polynômes
telle que
}(x)=\frac{Q_n(sinx)}{cos^n(x)})
où
et
Q'_n+(n+1)XQ_n)
Le polynôme est donc de degré n (les degrés sont en progression arithmétique de raison 1), à coefficients dans 
De plus,
=f(x) \, tan(x))
de même, il y a une troisième suite de polynômes
telle que
}(x)=f(x) \, R_n(tan(x)))
vérifiant la récurrence
R'_n +XR_n)
autre possibilité
on montre par une récurrence immédiate qu'il existe une suite
de polynômes
où
et
Le polynôme
De plus,
de même, il y a une troisième suite de polynômes
telle que
vérifiant la récurrence
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