Dérivabilité à gauche et à droite

[med]

Dans la plupart des exercices, il est demandé de calculer la dérivabilité d'une fonction f en (b-) et en (b+), respectivement sur la base des expressions de la fonction f pour x inférieur à b et x supérieur ou égal à b par exemple.
Pour le calcul de f(b), Il faut logiquement utiliser l'expression de la fonction f pour x supérieur ou égal à b. Est-ce vrai?
Dans la plupart des exercices, quand on calcule f(b) avec la fonction f définie pour x < à b, on trouve à chaque fois une valeur égale à celle obtenue avec la fonction définie pour x > ou = à b. Il y a peut être une explication à ça.

MERCI POUR VOS REPONSES

[Joker62]

Si la limite à droite et à gauche est égale, c'est que la fonction est dérivable en ce point
Si tu trouves 2 limites différentes, il y a une espèce de cassure dans la courbe de la fonction

Exemple avec f : x -> |x| en 0

[med]

Bonsoir MR JOKER62
Je crois que ma question n'a pas été bien comprise. Ma question c'est de savoir si on peut calculer f(b) avec la fonction f définie pour x < à b parceque logiquement il faut qu'on la calcule avec la fonction définie pour x > ou = à b. EXEMPLE:
f(x) = -3x^2 + X + 2 si x<1
f(x) = (x^2 - 1)^1/2 + X -1 si x> ou = 1
avec la première expression de f, on a f(1)=0 mais la fonction n'est pas définie pour x=1, donc il faut la calculer avec la deuxième expression de f et on trouve aussi f(1)=0 et pourtant la fonction f n'est pas dérivable en 1 (elle ne l'est que pour 1-)

MERCI POUR VOS REPONSES

[BQss]

Bonsoir MR JOKER62
Je crois que ma question n'a pas été bien comprise. Ma question c'est de savoir si on peut calculer f(b) avec la fonction f définie pour x ou = à b. EXEMPLE:
f(x) = -3x^2 + X + 2 si x ou = 1
avec la première expression de f, on a f(1)=0 mais la fonction n'est pas définie pour x=1, donc il faut la calculer avec la deuxième expression de f et on trouve aussi f(1)=0 et pourtant la fonction f n'est pas dérivable en 1 (elle ne l'est que pour 1-)

MERCI POUR VOS REPONSES

Tu prends f(1)=0 pour la deuxieme que ce soit a gauche ou a droite(c'est celle qui est definie en 1) et pour la limite a gauche tu prend f(xo-h) avec la premiere, et pour la dérivée a droite tu prend f(xo+h) avec la deuxieme:

lim h-->0 (f(1+h)-0)/h c'est la dérivée a droite si elle existe avec f la deuxieme* fonction

lim h-->0 (f(1-h)-0)/h c'est la dérivée a gauche si elle existe avec f la premiere* fonction

* j'avais ecrit l'inverse.

[crassus]

si les deux calculs débouchent sur des valeurs égales c'est ici que la fonction a été construite pour etre continue en 1 ...si elle ne l'était pas il n'y aurait pas d'étude de la dérivabilité ...

[mary123]

Si la limite à droite et à gauche est égale, c'est que la fonction est dérivable en ce point
Si tu trouves 2 limites différentes, il y a une espèce de cassure dans la courbe de la fonction

Exemple avec f : x -> |x| en 0

Meme problème que dans une autre discussion de ce forumr si on trouve 2 limites différentes, la fonction n'est pas continue et pas non dérivable. Pour que la fonction ne soit pas dérivable une des raisons possible est que le nombre dérivé "à gauche" soit différent du nombre dérivé "à droite", donc c'est la limite du taux de variation qu'il faut calculer.

[crassus]

la réponse à la question posee par med est : c'est la continuité de la fonction en b ... la dérivabilité n'a rien à voir avec la question posee par med ...

[fahr451]

si on lit la question de med on peut répondre ceci (comme certains l'ont fait):
1)pour calculer f(b) il faut bien sûr utiliser l'expression valable pour x>=b et non celle pour x2) l égalite(lorsqu elle a lieu) des deux expressions cependant traduit la continuité de f en b ( déjà dit)
3) la continuité est NECESSAIRE pour espérer une dérivabilité à droite et à gauche.

[mary123]

C'est tout à fait vrai, mais l'exemple de la fonction valeur absolue n'est pas approprié ici. En 0 il n'y a pas 2 limites différentes (la fonction est bien continue), mais non dérivable car la limite du taux d'accroisement à gauche est différente de celle du taux d'accroissement à droite. Il faut pas tout mélanger

[BQss]

Meme problème que dans une autre discussion de ce forumr si on trouve 2 limites différentes, la fonction n'est pas continue et pas non dérivable. Pour que la fonction ne soit pas dérivable une des raisons possible est que le nombre dérivé "à gauche" soit différent du nombre dérivé "à droite", donc c'est la limite du taux de variation qu'il faut calculer.

Une fonction non continue en un point n'y est pas derivable, donc si la limite a gauche et a droite est differente ce n'est meme pas la peine de regarder la limite du taux d'accroissement. Ce qui a deja été dit par contre c'est que prouver qu'elle etait continue n'est pas suffisantpour montrer qu'elle est derivable:
derivable-->continue
continue n'implique pas forcement derivable: exemple |x| en 0.

[BQss]

C'est tout à fait vrai, mais l'exemple de la fonction valeur absolue n'est pas approprié ici. En 0 il n'y a pas 2 limites différentes (la fonction est bien continue), mais non dérivable car la limite du taux d'accroisement à gauche est différente de celle du taux d'accroissement à droite. Il faut pas tout mélanger

Toi meme, tu melanges tout... Voir mon post d'en haut. Montrer qu'une fonction n'est pas continue suffit a montrer qu'elle n'est pas derivable, donc on peut tres bien dire la limite a droite et a gauche sont differentes donc elle n'est pas derivable car pas continue.
Ce qu'on ne peut pas dire c'est les limites a droite et a gauche sont les memes donc elle est derivable.

Une nouvelle fois:
derivable-->continue
donc par voix de consequence pas continue implique pas derivable:
pas continue-->pas derivable

et egalement evidemment continue n'implique pas forcement derivable.

[BQss]

la réponse à la question posee par med est : c'est la continuité de la fonction en b ... la dérivabilité n'a rien à voir avec la question posee par med ...

Dans la plupart des exercices, il est demandé de calculer la dérivabilité d'une fonction f en (b-) et en (b+), respectivement sur la base des expressions de la fonction f pour x inférieur à b et x supérieur ou égal à b par exemple.
Pour le calcul de f(b), Il faut logiquement utiliser l'expression de la fonction f pour x supérieur ou égal à b. Est-ce vrai?


MERCI POUR VOS REPONSES

Regarde son premier post et a nouveau quand il parle de la dérivée en 1, je pense que tu n'as pas bien lu... Il veut egalement savoir(si ce n'est uniquement) comment calculer la dérivée a droite et a gauche pour des fonctions définie de part et d'autre du point d'etude par deux fonctions differentes, et j'ai repondu d'ailleurs... Quand il parle de calculer f(1) il fait reference a son premier post c'est a dire f(1) l'interesse parcequ'il veut s'en servir dans l'expression du taux d'accroissement. Premierement on utilise la fonction f qui est definie en 1 celle de droite et cela nous donne le f(1), ensuite si c'est la limite a gauche on prend f(1-h) pour f definie sur x1 ( [f(1+h)-f(1)]/h ) (je parle de l'expression du taux d'accroissement). Pour voir si elle est continue c'est la meme chose, on prend la limite a droite de f en utilisant celle definie pour x>1 et la limite a gauche de f pour celle definie pour x0 (f(1+h)-0)/h c'est la dérivée a droite si elle existe avec f la deuxieme fonction

lim h-->0 (f(1-h)-0)/h c'est la dérivée a gauche si elle existe avec f la premiere fonction
[/quote]
Pourquoi faut-il que les sujets s'eternisent toujours.

[mary123]

Si la limite à droite et à gauche est égale, c'est que la fonction est dérivable en ce point

Je dis juste que ce qui est écrit dessus est faux, peut être me suis je mal exprimée j'en suis désolée, bon maintenant on va pas y passer toute la nuit ...

Après je suis tout à fait d'accord qu'une fonction non continue n'est pas dérivable et que donc ce n'est pas la peine de calculer la limite du taux d'accroissement

[BQss]

Je dis juste que ce qui est écrit dessus est faux, peut être me suis je mal exprimée j'en suis désolée, bon maintenant on va pas y passer toute la nuit ...

Je suis d'accord avec toi, bonne soirée bon noêl.

[crassus]

[quote="BQss"]Regarde son premier post et a nouveau quand il parle de la dérivée en 1, je pense que tu n'as pas bien lu... Il veut egalement savoir(si ce n'est uniquement) comment calculer la dérivée a droite et a gauche pour des fonctions définie de part et d'autre du point d'etude par deux fonctions differentes, et j'ai repondu d'ailleurs... Quand il parle de calculer f(1) il fait reference a son premier post c'est a dire f(1) l'interesse parcequ'il veut s'en servir dans l'expression du taux d'accroissement. Premierement on utilise la fonction f qui est definie en 1 celle de droite et cela nous donne le f(1), ensuite si c'est la limite a gauche on prend f(1-h) pour f definie sur x<1 (on a donc [f(1-h)-f(1)]/h ), si c'est la limite a droite on prend f(1+h) pour f definie sur x>1 ( [f(1+h)-f(1)]/h ) (je parle de l'expression du taux d'accroissement). Pour voir si elle est continue c'est la meme chose, on prend la limite a droite de f en utilisant celle definie pour x>1 et la limite a gauche de f pour celle definie pour x<1 et on compare mais ce n'etait pas sa question.




relis bien le premier post ... les questions ne portent que sur le calcul de f(b) même si la derivabilite est evoquée ...( on ne demande pas le calcul du nombre derivé à droite ou à gauche ) ... Il faut donc répondre à med que le calcul de f(b) se fait à priori avec f(x) pour x>ou= à b et que si on trouve le meme resultat avec l'autre forme de f(x) c'est parceque la fonction est continue en b ...

ça ne sert à rien d'avoir raison si on répond à coté des questions ...

[crassus]

[quote="BQss"]. Premierement on utilise la fonction f qui est definie en 1 celle de droite et cela nous donne le f(1), ensuite si c'est la limite a gauche on prend f(1-h) pour f definie sur x<1 (on a donc [f(1-h)-f(1)]/h ), si c'est la limite a droite on prend f(1+h) pour f definie sur x>1 ( [f(1+h)-f(1)]/h ) (je parle de l'expression du taux d'accroissement). Pour voir si elle est continue c'est la meme chose, on prend la limite a droite de f en utilisant celle definie pour x>1 et la limite a gauche de f pour celle definie pour x<1 et on compare mais ce n'etait pas sa question.

ici supposer et ECRIRE dans les deux cas : h>0 car sinon pourquoi utiliser deux formules differentes , il suffit de jouer sur le signe de h ...

[BQss]

. Premierement on utilise la fonction f qui est definie en 1 celle de droite et cela nous donne le f(1), ensuite si c'est la limite a gauche on prend f(1-h) pour f definie sur x1 ( [f(1+h)-f(1)]/h ) (je parle de l'expression du taux d'accroissement). Pour voir si elle est continue c'est la meme chose, on prend la limite a droite de f en utilisant celle definie pour x>1 et la limite a gauche de f pour celle definie pour x0 car sinon pourquoi utiliser deux formules differentes , il suffit de jouer sur le signe de h ...

Non pas besoin il n'y a aucune ambiguité, car on ne peut pas definir un h negatif ici vu que f est definie pour x0 = lim [f(1-h)-f(1)]/h ) quand h-->0+ avec f la fonction definie sur x ou = à b[/b]. EXEMPLE:
f(x) = -3x^2 + X + 2 si x ou = 1
avec la première expression de f, on a f(1)=0 mais la fonction n'est pas définie pour x=1, donc il faut la calculer avec la deuxième expression de f et on trouve aussi f(1)=0 et pourtant la fonction f n'est pas dérivable en 1 (elle ne l'est que pour 1-)

MERCI POUR VOS REPONSES

Je lui indique donc en plus le detail du calcul des dérivée a gauche et a droite pour qu'il ne s'etonne plus d'eventuelle difference entre la dérivée a droite et a gauche.

[crassus]

je crois que tu lui prete des questionnements ... relis calmement son premier post il s'étonne du fait que le calcul de l'image de 1 par la forme de f définie sur [1 ; +inf[ ou par la forme de f définie sur ]-inf ; 1[ donne le meme resultat ... FAUT LIRE ! Il faut donc lui repondre que cette fonction définie par morceaux a été construite de façon à ce qu'elle soit continue en 1 et à ce que la question de la dérivabilité puisse se poser , c'est à dire avec lim à droite =lim à gauche =image de 1 ... la question de la dérivabilité de la fonction peut ensuite se poser ...en d'autres termes ...

[crassus]

je comprend bien ton raisonnement en ce qui concerne le calcul des nombres dérivés mais puisque le signe de h , comme tu le dis est determiné par le choix de la forme de f ...pourquoi ne pas utilisé dans les deux cas la seule formule avec 1+h ?

de plus avec ton 1-h regarde bien ta formule tu trouves l'opposé du nombre dérivé à gauche car tu ne divises pas par -h ... qu'en penses tu ???

[BQss]

je comprend bien ton raisonnement en ce qui concerne le calcul des nombres dérivés mais puisque le signe de h , comme tu le dis est determiné par le choix de la forme de f ...pourquoi ne pas utilisé dans les deux cas la seule formule avec 1+h ?

Juste une ecriture hybride pour lui, afin qu'il voit explicitement que l'on vient soit par la gauche soit par la droite en reduisant la distance h donc h>0 car representant une distance dans cette forme, ce qui traduit algebriquement le fait de tendre par la gauche ou la droite, au lieu de l'exprimer intuitivement dans la limite . Je trouve cette forme adapté pour expliquer les phenomenes de limite, de continuité ou de dérivabilité de facon pedagogique.

de plus avec ton 1-h regarde bien ta formule tu trouves l'opposé du nombre dérivé à gauche car tu ne divises pas par -h ... qu'en penses tu ???

Oui tout a fait excuse moi,j'ai oublié le - devant le h au denominateur pour la dérivée a gauche. Si j'oublie le - dans la formule ca ne veut plus rien dire (-h=x-x0<0 avec h la distance de x a x0), donc au denominateur il faut mettre - h... A partir du moment ou on introduit le concept plus intuitif de distance il ne faut pas oublier qu'au denominateur le terme est negatif quand on vient par la gauche... Par la gauche tout est inversé et si l'on veut bien conservé l'expression d'une pente, comme x<x0, c'est a dire qu'on prend des f(x) a gauche et pas a droite comme normalement pour le calcul d'une pente il faut bien sur en tenir compte pour le Dx et poser h=-|Dx|( on retrouve evidemment toutes ces notions tout simplement en posant h=-h dans l'expression generale de la dérivée en un point et on retombe sur ma formule en oubliant pas le - devant le h du denominateur;))...