Demontrer par recurrence

[Kokokoizu]

Bonjour voici mon exercice :
t la suite définie par t0=0 et pour tout entier naturel n : tn+1= tn + 1/((n+1)(n+2))

Je devais conjecturer tn sous forme de fraction , j'ai trouvé tn = ((n+1)-1)/(n+1).
Maintenant je dois démontrer cette expression. Et la ça coince. J'ai vu en cours comment demonter une recurence de Un+1, mais pas dans l'autre sens..

J'ai tenté de faire ça :
Initialisation : pour n=0, t0=0 et pour tout n : tn+1= tn + 1/((n+1)(n+2))
Hérédité : Supposons que pour un certain k (superieur ou egale a)0 t(k)= ((k+1)-1)/(k+1) est vrai
Alors t(k+1)= ((k+1)-1)/(k+1) + 1/((k+1)(k+2))

Et la je sais pas..

[Luc]

Bonjour voici mon exercice :
t la suite définie par t0=0 et pour tout entier naturel n : tn+1= tn + 1/((n+1)(n+2))

Je devais conjecturer tn sous forme de fraction , j'ai trouvé tn = ((n+1)-1)/(n+1).
Maintenant je dois démontrer cette expression. Et la ça coince. J'ai vu en cours comment demonter une recurence de Un+1, mais pas dans l'autre sens..

J'ai tenté de faire ça :
Initialisation : pour n=0, t0=0 et pour tout n : tn+1= tn + 1/((n+1)(n+2))
Hérédité : Supposons que pour un certain k (superieur ou egale a)0 t(k)= ((k+1)-1)/(k+1) est vrai
Alors t(k+1)= ((k+1)-1)/(k+1) + 1/((k+1)(k+2))

Et la je sais pas..

Salut,
remarque que ta conjecture se simplifie : tn=n/(n+1).
La propriété que tu souhaites montrer par récurrence est donc P(n) : tn=n/(n+1).
Initialisation: n=0. Est-ce que t0 est égal à 0/(0+1)?
Hérédité : ce que tu as fait est bien. mets sur le même dénominateur et ça va se simplifier.

[tototo]

Bonjour,

t0=0
t1=1/2

Supposons tn vrai demontrons tn+1:
tn= tn-1 + 1/((n)(n+1))
tn+1= ((n+1+1)-1)/(n+1+1)=(n+1)/(n+2).
tn = ((n+1)-1)/(n+1).
est ce que ((n+1)-1)/(n+1)+1/((n+1)(n+2)) = (n+1)/(n+2)?


Bonjour voici mon exercice :
t la suite définie par t0=0 et pour tout entier naturel n : tn+1= tn + 1/((n+1)(n+2))

[Kokokoizu]

Salut,
remarque que ta conjecture se simplifie : tn=n/(n+1).
La propriété que tu souhaites montrer par récurrence est donc P(n) : tn=n/(n+1).
Initialisation: n=0. Est-ce que t0 est égal à 0/(0+1)?
Hérédité : ce que tu as fait est bien. mets sur le même dénominateur et ça va se simplifier.

En y mettant sur le meme denominateur je trouve: (k(k+2)+1)/((k+1)(k+2))
En y simplifiant je trouve (k²+2k+1)/(k²+3k+2) mais je vois pas le rapport avec ce que je cherche

[Luc]

En y mettant sur le meme denominateur je trouve: (k(k+2)+1)/((k+1)(k+2))
En y simplifiant je trouve (k²+2k+1)/(k²+3k+2) mais je vois pas le rapport avec ce que je cherche

(k²+2k+1)=(k+1)^2 :lol3:

[Kokokoizu]

(k²+2k+1)=(k+1)^2 :lol3:

Ah oui bien vu ! J'avais completement zappé les identités remarquable. Ca me fait donc (k+1)/(k+2) au final

[Luc]

Ah oui bien vu ! J'avais completement zappé les identités remarquable. Ca me fait donc (k+1)/(k+2) au final

Voilà, d'où l'hérédité!

[Kokokoizu]

Voilà, d'où l'hérédité!

Une fois que j'arrive ici la démonstration par récurrence est fini alors ?

[Luc]

Une fois que j'arrive ici la démonstration par récurrence est fini alors ?

Il faut bien rédiger et dire que tu conclus que la propriété est vraie pour tout entier d'après le principe de récurrence.

[Kokokoizu]

Il faut bien rédiger et dire que tu conclus que la propriété est vraie pour tout entier d'après le principe de récurrence.

Merci bien