Démontrer la divisibilité d'une expression par récurrence

[lequa]

Bonsoir !

Dans mon exercice je dois : Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 7×3^5n +4 est divisible par 11.

à l'étape de l'hérédité si je suis le raisonement j'arrive à

: 7x3^5n+5 +4 = (7x3^5n) x3^5 +4

je suis resté bloque sur ce calcul jusqu'a voir la correction que je ne comprend pas

qui est : 7x3^5n+5 +4 = (11p +4) x 3^5 +4

Je comprend ce qui s'est produit avec 7x3^5n à droite, qui deviens (11p+4)

pourriez vous m'aider s'il vous plait ? merci pour votre temps

[nodgim]

Je me suis demandé si tu avais écrit (3^5) * n ou 3^(5n).....
La récurrence dans ce problème n'est pas d'un grand secours, ou si peu....
Pour être sûr que ça marche avec n=1, tu as bien été obligée de calculer 3^5 [11]
Qui vaut 1 [11] et du coup en effet 3^(5n) = (3^5) ^ n = 1 ^ n = 1

[aviateur]

Bonsoir
Je ne pense pas comme toi @nogdim.
En effet en posant
on voit assez facilement qu'en factorisant est un multiple de 11.

[beagle]

c'est pas 11p-4 plutôt?

[beagle]

que l'on parte de n pour arriver à n+1, je sais pas pourquoi mais je préfère ici.
ou de n+1 comme dans ta solution
ben à la fin cela se termine par 4(3^5 -1) doit etre multiple de 11 ce qui est le cas, ouf

[beagle]

(11p +4) x 3^5 +4

ou plutôt
(11p -4) x 3^5 +4 = 11p3^5 - 4*3^5+4 = 11p3^5 - 4 (3^5-1)= 11 (p3^5 - 4*22)
donc multiple de 11

[aviateur]

Oh pardon j'avais pas vu qu'il avait donné une ébauche de solution