Démontrer une inégalité par récurrence.

[Ismael04]

Bonjour à tous !

Alors voilà, je m'entraîne pour un devoir surveillé de maths sur la récurrence qui a lieu très prochainement. J'aime bien faire les exercices du livre pour être sûr de bien maîtriser mais le hic c'est qu'ils ne proposent pas les corrigés ! Alors actuellement je bloque un peu sur la démonstration d'inégalités par récurrence :hein:

Voici l'énoncé :

Soit n un entier naturel. Considérons la proposition " 2^n 5n² "
1) Pour quelle(s) valeur(s) de n dans {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, la proposition est-elle vraie ?
2) Résoudre dans IR l'inéquation 10x² > 5(x+1)²
3) Montrer que la proposition est héréditaire à partir de n = 3
4) Quels sont les entiers n pour lesquels la proposition est vraie ? Justifier.

Et mes réponses :

1) 2^0 = 1 5*0² = 0 donc 2^0 5*0² La proposition est vraie pour n = 0
2^1 = 2 5*1² = 5 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 1
2^2 = 4 5*2² = 20 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 2
2^3 = 8 5*3² = 45 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 3
2^4 = 16 5*4² = 80 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 4
2^5 = 32 5*5² = 125 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 5
2^6 = 64 5*6² = 180 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 6
2^7 = 128 5*7² = 245 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 7
2^8 = 256 5*8² = 320 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 8
2^9 = 512 5*9² = 405 donc 2^9 5*9² La proposition est vraie pour n = 9

La proposition est vraie seulement pour n = 0 et n = 9.

2) 10x² > 5(x+1)² = 5x²-10x-5 > 0

Delta = b²-4ac = 200 ( j'ai bien évidemment détaillé les calculs !! )

x1 = 1-;)2
x2 = 1+;)2

5x² étant positif, la parabole du trinôme est donc à l'endroit.

J'ai fais mon tableau de signe et j'en conclu que 10x² > 5(x+1)² si et seulement si :
x est sur ]-infini ; 1-;)2 [ U ] 1+;)2 ; + infini [

3) A partir de là je bloque ! je ne vois pas comment il est possible de faire un raisonnement par récurrence à partir de n = 3 ( donc pour tout n 3 ) alors que la proposition est fausse pour n = 3 et vraie pour n = 0 et n = 9. Pourtant le raisonnement par récurrence ne me pose pas trop de problèmes j'ai déjà fais beaucoup d'exercices d'entraînement dessus !
Donc si quelqu'un a une idée de comment faire cette démonstration je suis preneur de ses conseils !
J'ai essayé de tourner l'inégalité dans tous les sens mais je ne trouve aucune solution ..

4) La question 4 découle de la 3, donc je ne peux évidemment pas y répondre !


Merci par avance de vos réponses et bonne soirée !
Ismael

[cyrill]

Voici l'énoncé :

Soit n un entier naturel. Considérons la proposition " 5n²"/> "
1) Pour quelle(s) valeur(s) de n dans {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, la proposition est-elle vraie ?
2) Résoudre dans IR l'inéquation 10x² > 5(x+1)²
3) Montrer que la proposition est héréditaire à partir de n = 3
4) Quels sont les entiers n pour lesquels la proposition est vraie ? Justifier.

Et mes réponses :

1) 2^0 = 1 5*0² = 0 donc 2^0 5*0² La proposition est vraie pour n = 0
2^1 = 2 5*1² = 5 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 1
2^2 = 4 5*2² = 20 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 2
2^3 = 8 5*3² = 45 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 3
2^4 = 16 5*4² = 80 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 4
2^5 = 32 5*5² = 125 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 5
2^6 = 64 5*6² = 180 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 6
2^7 = 128 5*7² = 245 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 7
2^8 = 256 5*8² = 320 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 8
2^9 = 512 5*9² = 405 donc 2^9 5*9² La proposition est vraie pour n = 9

La proposition est vraie seulement pour n = 0 et n = 9.

2) 10x² > 5(x+1)² = 5x²-10x-5 > 0

Delta = b²-4ac = 200 ( j'ai bien évidemment détaillé les calculs !! )

x1 = 1-;)2
x2 = 1+;)2

5x² étant positif, la parabole du trinôme est donc à l'endroit.

J'ai fais mon tableau de signe et j'en conclu que 10x² > 5(x+1)² si et seulement si :
x est sur ]-infini ; 1-;)2 [ U ] 1+;)2 ; + infini [


3) en fait on ne montre que l'hérédité c' est à dire : 2^n 5n² entraîne 2^(n+1) 5(n+1)²

effectivement supposons que 2^n 5n² alors 2(2^n) 2(5n²)
d'où 2^(n+1);) 2(5n²) > 5(n+1)² puisque 3 est supérieur à 1+;)2

4) conclusion:
la proposition 2^n 5n² n'est pas vraie pour n= 3 mais elle est vraie pour n= 9
et comme elle est héréditaire à partir de n= 3 ; on en déduit qu'elle est vraie à partir de n =9

[Ismael04]

Voici l'énoncé :

Soit n un entier naturel. Considérons la proposition " 5n²"/> "
1) Pour quelle(s) valeur(s) de n dans {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, la proposition est-elle vraie ?
2) Résoudre dans IR l'inéquation 10x² > 5(x+1)²
3) Montrer que la proposition est héréditaire à partir de n = 3
4) Quels sont les entiers n pour lesquels la proposition est vraie ? Justifier.

Et mes réponses :

1) 2^0 = 1 5*0² = 0 donc 2^0 5*0² La proposition est vraie pour n = 0
2^1 = 2 5*1² = 5 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 1
2^2 = 4 5*2² = 20 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 2
2^3 = 8 5*3² = 45 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 3
2^4 = 16 5*4² = 80 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 4
2^5 = 32 5*5² = 125 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 5
2^6 = 64 5*6² = 180 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 6
2^7 = 128 5*7² = 245 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 7
2^8 = 256 5*8² = 320 La proposition n'est donc pas vérifiée pour n = 8
2^9 = 512 5*9² = 405 donc 2^9 5*9² La proposition est vraie pour n = 9

La proposition est vraie seulement pour n = 0 et n = 9.

2) 10x² > 5(x+1)² = 5x²-10x-5 > 0

Delta = b²-4ac = 200 ( j'ai bien évidemment détaillé les calculs !! )

x1 = 1-;)2
x2 = 1+;)2

5x² étant positif, la parabole du trinôme est donc à l'endroit.

J'ai fais mon tableau de signe et j'en conclu que 10x² > 5(x+1)² si et seulement si :
x est sur ]-infini ; 1-;)2 [ U ] 1+;)2 ; + infini [


3) en fait on ne montre que l'hérédité c' est à dire : 2^n 5n² entraîne 2^(n+1) 5(n+1)²

effectivement supposons que 2^n 5n² alors 2(2^n) 2(5n²)
d'où 2^(n+1);) 2(5n²) > 5(n+1)² puisque 3 est supérieur à 1+;)2

4) conclusion:
la proposition 2^n 5n² n'est pas vraie pour n= 3 mais elle est vraie pour n= 9
et comme elle est héréditaire à partir de n= 3 ; on en déduit qu'elle est vraie à partir de n =9

Merci beaucoup Cyrill pour ta réponse très rapide ! je comprends enfin à quoi servait l'inéquation préalable ! C'était mon élément manquant ! c'est tout de suite plus clair, encore merci :++:

[Ismael04]

Juste une dernière question, que mettre en initialisation ? Car on ne peut pas montrer que la proposition est vérifiée pour n = 3 ..

[Grimmys]

Juste une dernière question, que mettre en initialisation ? Car on ne peut pas montrer que la proposition est vérifiée pour n = 3 ..

En initialisation, tu mets n = 9, car c'est à partir de ce rang qu'elle est vrai et l'est encore au rang supérieur ( initialisation et hérédité validées à partir de ce rang ).

[zygomatique]

salut

voir ici :: http://www.maths-forum.com/resolu-raisonnement-recurrence-ts-166864.php

...

[Ismael04]

Ah oui c'est logique puisque 9 est supérieur a 3, et puisque c'est héréditaire a partir du rang 3 ça l'est aussi pour 9 ! merci à tous pour vos réponses !