Démonstration périmètre, aire d'un cercle - Sans intégration

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes

Je ne suis qu'en 1ère S, je ne maîtrise pas encore l'intégration et j'aimerais savoir si mon idée est bonne :
Je propose de démontrer que le périmètre d'un cercle est et que son aire est sans utiliser d'intégration mais plutôt les limites

Cette méthode existe-t-elle ?
Est-elle valable ?

Merci

[Cheche]

Nous écoutons ta démonstration.

[Kikoo <3 Bieber]

Oui c'est possible, en utilisant la limite du périmètre d'un n-gone régulier à r fixé, pour n tendant vers l'infini. Pareil pour l'aire.
Mais il doit exister d'autres preuves encore, plus élégantes sans doute.

[upium666]

Soit un polygone régulier à côtés
Notons la distance entre le centre de et un de ses sommets
Notons la longueur d'un côté de
Notons un triangle formé par le centre de et 2 de ses sommets consécutifs
Notons l'angle au sommet de ;
Notons le périmètre de
Notons l'aire de

----------
?
Al-Kashi dans :

----------
?
Aire de :

----------

Soit un cercle de rayon r

[sad13]

En effet, d'ailleurs elle porte un nom cette méthode, je vais, peut-être le retrouver.

[Kikoo <3 Bieber]

Lire ce sujet si nécessaire : On peut y trouver des liens intéressants.

@Sad13 : problèmes isopérimétriques.

[Nightmare]

Soit un cercle de rayon r

Quel sens donnes-tu à ceci? Quelle est ta définition d'une limite de polygone?

[LeJeu]

Quel sens donnes-tu à ceci? Quelle est ta définition d'une limite de polygone?

De quelle définition de pi part on? Du rapport de la circonférence du cercle a son diamètre ? On tourne en rond ?

[Nightmare]

Non ça c'est moins gênant, on peut définir pi à partir des fonctions trigonométriques.

Ce qui me gêne par contre, c'est de parler de figures géométriques qui tendent vers une autre sans préciser ce que cela veut dire.

[upium666]

Quel sens donnes-tu à ceci? Quelle est ta définition d'une limite de polygone?

Un polygone régulier est défini par son nombre de côtés/sommets

Intuitivement, un dodécagone est plus proche d'un cercle qu'un pentagone, je suppose :p

Du coup, j'ai considéré un cercle comme étant un polygone régulier à côtés/sommets :hum:

Plus un polygone régulier a de côtés, plus sa forme se rapproche de celle d'un cercle que l'on considérera alors, de par la validité que nous offrent les calculs, comme un polygone régulier à côtés
Si vous voulez au départ c'était mon hypothèse, mon approche intuitive, que les calculs sont venus confirmer

[upium666]

Quel sens donnes-tu à ceci? Quelle est ta définition d'une limite de polygone?

Que j'y donne sens ou pas, les calculs viennent me donner raison

A ce propos que pensez-vous de la méthode des trapèzes pour l'intégration ? C'est dans le même état d'esprit

[Archytas]

Pour la culture G en grèce antique le cercle était vu comme un infini-gone donc pour moi l'idée de faire tendre le nombre de coté vers l'infini ça a un sens, non ?

[Nightmare]

Oui ça a un sens, mais lequel? Quelle est la définition que vous donnez de la limite d'une suite de "figures"?

J'ai lu "plus sa forme se rapproche". Comment définissez vous le terme "rapprochez" quand vous parlez de figure?

Je n'essaye pas de piéger mais cette démonstration a un vide théorique que l'on peut essayer de combler.

[LeJeu]

De quelle définition de pi part on? Du rapport de la circonférence du cercle a son diamètre ? On tourne en rond ?

Bonjour,

Je reviens sur ma première objection.
Tant que tu es dans la trigo ( formule de Al-Kashi ) , ton PI est est angle, qui vaut "deux droits", ou si tu es plus à l'aise 180 °

Quand dans tes calculs tu arrives à exprimer une longueur en fct de Pi c'est que tu as changé la nature de PI : Je dis que tu as de façon implicite utilisé le fait que la circonférence d'un cercle de rayon 1 est 2*PI.

Tes calculs sont donc bons mais sont une tautologie, il répètent ce que tu sais au départ.

D'ailleurs, si je te dis ton résultat est faux, car PI vaut 180° tu vas me dire "mais non c'est 3,14, ca se trouve d'ailleurs en dessinant des pgones qui convergent vers un cercle en calculant le rapport du périmètre au rayon" calcul déjà fait par archimède avec pgone de 96 cotés
CQFD


Ps - Par contre une fois admis P=2PI*r, on est d'accord la surface se trouve facilement comme limite de l'aire des triangles, ce qui est somme toute une intégration....

[upium666]

Je n'essaye pas de piéger mais cette démonstration a un vide théorique que l'on peut essayer de combler.

Je ne prends jamais les discussions comme un piège, c'est très enrichissant au contraire ! ^^
C'est juste qu'en 1ère je n'ai pas un bagage mathématique très développé, du coup je suis mon "intuition" (c'est d'ailleurs de là qu'ont commencé les maths :p hihi ^^' )

Pour revenir à notre discussion

J'ai lu "plus sa forme se rapproche". Comment définissez vous le terme "rapprochez" quand vous parlez de figure?

Je définis le terme rapprocher comme une approximation conforme en point de vue aire et périmètre
Je m'explique : Plus un polygone régulier a de côtés, plus son aire et son périmètre se rapprochent de celui d'un cercle (que j'ai alors considéré, par aberration mathématique je l'admets !, comme étant un polygone régulier :s)
Je sais que ça ne veut pas dire grand chose "rapprocher" puisque vous pouvez me donner une autre figure qui ne "ressemble" pas du tout à un cercle mais dont le périmètre et l'aire se rapprochent :we:
C'est pour éviter cela que j'ai défini le dans ma "démonstration" (conjecture, oui !) :triste:

[upium666]

Bonjour,

Je reviens sur ma première objection.
Tant que tu es dans la trigo ( formule de Al-Kashi ) , ton PI est est angle, qui vaut "deux droits", ou si tu es plus à l'aise 180 °

Quand dans tes calculs tu arrives à exprimer une longueur en fct de Pi c'est que tu as changé la nature de PI : Je dis que tu as de façon implicite utilisé le fait que la circonférence d'un cercle de rayon 1 est 2*PI.

Tes calculs sont donc bons mais sont une tautologie, il répètent ce que tu sais au départ.

D'ailleurs, si je te dis ton résultat est faux, car PI vaut 180° tu vas me dire "mais non c'est 3,14, ca se trouve d'ailleurs en dessinant des pgones qui convergent vers un cercle en calculant le rapport du périmètre au rayon" calcul déjà fait par archimède avec pgone de 96 cotés
CQFD


Ps - Par contre une fois admis P=2PI*r, on est d'accord la surface se trouve facilement comme limite de l'aire des triangles, ce qui est somme toute une intégration....

Cela arrangerait-il les choses si au lieu d'employer j'utilisais le cours de 3ème : cette fois en degrés pour ne pas toucher au cours de trigo et donc ne pas aller d'un CERCLE trigonométrique ?

[Nightmare]

Je définis le terme rapprocher comme une approximation conforme en point de vue aire et périmètre
Je m'explique : Plus un polygone régulier a de côtés, plus son aire et son périmètre se rapprochent de celui d'un cercle (que j'ai alors considéré, par aberration mathématique je l'admets !, comme étant un polygone régulier :s)
Je sais que ça ne veut pas dire grand chose "rapprocher" puisque vous pouvez me donner une autre figure qui ne "ressemble" pas du tout à un cercle mais dont le périmètre et l'aire se rapprochent :we:
C'est pour éviter cela que j'ai défini le dans ma "démonstration" (conjecture, oui !) :triste:

Le problème c'est que là pour le coup on tourne en rond. Admettons que l'on définisse "La suite de figure Pn converge vers la figure C" par "Le périmètre et l'aire des Pn convergent vers ceux de C", comment démontres-tu alors dans ta preuve que la limite des polygones est bien le cercle considéré? Car tu affirmes que "lim P = C" puis tu en déduis l'égalité des limites des périmètres et des aires, mais avec la définition que tu donnes c'est l'inverse qu'il faudrait faire.

[upium666]

Le problème c'est que là pour le coup on tourne en rond. Admettons que l'on définisse "La suite de figure Pn converge vers la figure C" par "Le périmètre et l'aire des Pn convergent vers ceux de C", comment démontres-tu alors dans ta preuve que la limite des polygones est bien le cercle considéré? Car tu affirmes que "lim P = C" puis tu en déduis l'égalité des limites des périmètres et des aires, mais avec la définition que tu donnes c'est l'inverse qu'il faudrait faire.

Vous avez raison Nightmare !
J'aurais dû faire l'inverse pour DEMONTRER, j'ai l'impression de n'avoir fait qu'une simple vérification :we:

[DéfiTexte]

Archimède a vu que si des triangles inscrits dans un cercle deviennent infiniment aigus, leurs bases tendant vers rien, leurs surfaces, (base par hauteur) divisé par deux, se confondent avec hauteur divisée par deux c'est-à-dire rayon divisé par deux : rien ce n'est pas zéro. La surface du cercle est alors ce demi rayon multiplié par la circonférence soit r/2*π2r=πr² ; car, π étant le rapport de la circonférence avec le diamètre, π=c/d, c=π2r. Cette surface s'écrit aussi (r*π2r)/2 : l'aire d'un cercle est égale à celle d'un triangle dont la hauteur est égale au rayon du cercle et la base est égale à la circonférence du cercle ; or puisque dans un triangle rectangle la hauteur coïncide avec un côté, Archimède dit alors "l'aire d'un cercle est égale à celle d'un triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit est égal au rayon du cercle et l'autre côté de l'angle droit à la circonférence du même cercle."
Http://defitexte.wordpress.fr

[chan79]

salut
une animation (pas une démo) pour retrouver l'aire du disque connaissant le périmètre.
L'aire est
Déplacer les curseurs vers la droite en commençant par le haut.
https://www.geogebra.org/m/C5NucdRX