Démonstration par récurrence : divisibilité d'une expression par un nombre

[Lilly45]

Bonjour à tous!
Je dois démontrer par récurrence
1) pour tout n appartenant à N : 3^2n divisible par 7.
2) pour tout n appartenant à N : 3^2n - 1 divisible par 4.
3) pour tout n appartenant à N : n(n+1)(2n+1) divisible par 6

j'ai bien compris la récurrence mais pour l'hérédité, je ne sais pas absolument comment démontrer.
J'ai besoin de pistes, s'il vous plaît.. :help:

[busard_des_roseaux]

3) pour tout n appartenant à N : n(n+1)(2n+1) divisible par 6

bonjour,
tu peux par exemple poser ) et étudier

[Lilly45]

d'accord, et après je dois voir si un au rang N+1 soustrait à un au rang n fixé est divisible par 6 ?

EDIT : je viens de le faire et je me retrouve avec une expression à rallonge, je sais pas quoi faire avec

[titine]

Bonjour à tous!
Je dois démontrer par récurrence
1) pour tout n appartenant à N : 3^2n divisible par 7.
2) pour tout n appartenant à N : 3^2n - 1 divisible par 4.
3) pour tout n appartenant à N : n(n+1)(2n+1) divisible par 6

j'ai bien compris la récurrence mais pour l'hérédité, je ne sais pas absolument comment démontrer.
J'ai besoin de pistes, s'il vous plaît.. :help:

Pour 1) il y a un problème car :
3^0 = 1 n'est pas divisible par 7
3^2 = 9 n'est pas divisible par 7
3^4 = 81 n'est pas divisible par 7

2) Initialisation : pour n=0 3^0 - 1 = 0 est divisible par 4
Hérédité : on suppose que 3^2n - 1 et divisible par 4 c'est à dire que 3^2n - 1 = 4k (k nombre entier)
On a alors 3^2(n+1) - 1 = 3^(2n+2) - 1 = 3^2n * 3^2 - 1
Mais comme on a supposé que 3^2n - 1 = 4k alors 3^2n = 4k + 1
Donc 3^2(n+1) - 1 = (4k + 1) * 9 - 1 = 36k + 9 - 1 = 36k + 8 = 4 * (9k + 1)
Donc 3^2(n+1) - 1 est divisible par 4.
Donc si on suppose la propriété vraie pour n alors elle est aussi vraie pour n+1

Comprends tu

[busard_des_roseaux]

d'accord, et après je dois voir si un au rang N+1 soustrait à un au rang n fixé est divisible par 6 ?

oui

EDIT : je viens de le faire et je me retrouve avec une expression à rallonge, je sais pas quoi faire avec

il s'agit juste de mettre 6 en facteur

[Lilly45]

Ah oui pardon c'est 3^2n - 2^n divisible par 7 j'ai mal noté l'énoncé ><
oui j'ai compris, merci, j'aurais jamais pensé de moi même à faire une égalité entre l'expression avec n et 4k, la base du raisonnement.

[Lilly45]

oui



il s'agit juste de mettre 6 en facteur

mettre 6 en facteur ?

[titine]

Ah oui pardon c'est 3^2n - 2^n divisible par 7 j'ai mal noté l'énoncé ><
oui j'ai compris, merci, j'aurais jamais pensé de moi même à faire une égalité entre l'expression avec n et 4k, la base du raisonnement.

Je pense que tu peux appliquer la même technique au 1)

[Lilly45]

Je pense que tu peux appliquer la même technique au 1)

Oui je suis en train de le refaire moi même la démonstration du 2) après je ferais le 1). Mais pour le 3) c'est pas clair du tout

3) pour tout n appartenant à N : n(n+1)(2n+1) divisible par 6

[titine]

Oui je suis en train de le refaire moi même la démonstration du 2) après je ferais le 1). Mais pour le 3) c'est pas clair du tout

3) pour tout n appartenant à N : n(n+1)(2n+1) divisible par 6

On suppose que n(n+1)(2n+1) est divisible par 6.
Et on doit démontrer qu'alors (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) c'est à dire (n+1)(n+2)(2n+3) est divisible par 6.
D'accord là dessus ?

n(n+1)(2n+1) = 2n^3 + 3n² + n

(n+1)(n+2)(2n+3) = 2n^3 + 9n² + 13n + 6 = (2n^3 +3n² + n) + 6n² + 12n + 6
On a supposé que (2n^3 +3n² + n) est divisible par 6 ................

[Lilly45]

On suppose que n(n+1)(2n+1) est divisible par 6.
Et on doit démontrer qu'alors (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) c'est à dire (n+1)(n+2)(2n+3) est divisible par 6.
D'accord là dessus ?

n(n+1)(2n+1) = 2n^3 + 3n² + n

(n+1)(n+2)(2n+3) = 2n^3 + 9n² + 13n + 6 = (2n^3 +3n² + n) + 6n² + 12n + 6
On a supposé que (2n^3 +3n² + n) est divisible par 6 ................

Il y a confusion sur l'énoncé, c'est n(n+1)(2n+1) divisible par 6
les n+1 et n+2 en facteur ne sont pas des rangs, on ajoute 1 à n

[titine]

Il y a confusion sur l'énoncé, c'est n(n+1)(2n+1) divisible par 6
les n+1 et n+2 en facteur ne sont pas des rangs, on ajoute 1 à n

Je ne comprends pas ce que tu veux dire.

La propriété à démontrer est :
Pour tout n : n(n+1)(2n+1) est divisible par 6.

On suppose la propriété vraie pour une certaine valeur de n : on suppose donc que n(n+1)(2n+1) est vraie pour n.

Et on doit démontrer qu'alors la propriété est vraie pour n+1, c'est à dire que :
(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) est vraie.

[Lilly45]

Je ne comprends pas ce que tu veux dire.

La propriété à démontrer est :
Pour tout n : n(n+1)(2n+1) est divisible par 6.

On suppose la propriété vraie pour une certaine valeur de n : on suppose donc que n(n+1)(2n+1) est vraie pour n.

Et on doit démontrer qu'alors la propriété est vraie pour n+1, c'est à dire que :
(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) est vraie.

voilà c'est ça on est d'accord
donc écrire par la suite (n+1)(n+2)(2n+2) c'est faux.

[titine]

voilà c'est ça on est d'accord
donc écrire par la suite (n+1)(n+2)(2n+2) c'est faux.

Mais je ne crois pas avoir écrit (n+1)(n+2)(2n+2)
J'ai bien écrit (n+1)(n+2)(2n+3)

J'ai l'impression qu'on ne se comprend pas .... Peut être ne parle t on pas de la même chose ... Je vais relire précisément les messages précédents ...