Démonstration par récurrence : divisibilité d'une expression par un nombre

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Lilly45
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Démonstration par récurrence : divisibilité d'une expression par un nombre

par Lilly45 » 02 Nov 2013, 12:27

Bonjour à tous!
Je dois démontrer par récurrence
1) pour tout n appartenant à N : 3^2n divisible par 7.
2) pour tout n appartenant à N : 3^2n - 1 divisible par 4.
3) pour tout n appartenant à N : n(n+1)(2n+1) divisible par 6

j'ai bien compris la récurrence mais pour l'hérédité, je ne sais pas absolument comment démontrer.
J'ai besoin de pistes, s'il vous plaît.. :help:



busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 02 Nov 2013, 12:37

Lilly45 a écrit:3) pour tout n appartenant à N : n(n+1)(2n+1) divisible par 6




bonjour,
tu peux par exemple poser ) et étudier

Lilly45
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par Lilly45 » 02 Nov 2013, 12:41

d'accord, et après je dois voir si un au rang N+1 soustrait à un au rang n fixé est divisible par 6 ?

EDIT : je viens de le faire et je me retrouve avec une expression à rallonge, je sais pas quoi faire avec

titine
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par titine » 02 Nov 2013, 12:43

Lilly45 a écrit:Bonjour à tous!
Je dois démontrer par récurrence
1) pour tout n appartenant à N : 3^2n divisible par 7.
2) pour tout n appartenant à N : 3^2n - 1 divisible par 4.
3) pour tout n appartenant à N : n(n+1)(2n+1) divisible par 6

j'ai bien compris la récurrence mais pour l'hérédité, je ne sais pas absolument comment démontrer.
J'ai besoin de pistes, s'il vous plaît.. :help:

Pour 1) il y a un problème car :
3^0 = 1 n'est pas divisible par 7
3^2 = 9 n'est pas divisible par 7
3^4 = 81 n'est pas divisible par 7

2) Initialisation : pour n=0 3^0 - 1 = 0 est divisible par 4
Hérédité : on suppose que 3^2n - 1 et divisible par 4 c'est à dire que 3^2n - 1 = 4k (k nombre entier)
On a alors 3^2(n+1) - 1 = 3^(2n+2) - 1 = 3^2n * 3^2 - 1
Mais comme on a supposé que 3^2n - 1 = 4k alors 3^2n = 4k + 1
Donc 3^2(n+1) - 1 = (4k + 1) * 9 - 1 = 36k + 9 - 1 = 36k + 8 = 4 * (9k + 1)
Donc 3^2(n+1) - 1 est divisible par 4.
Donc si on suppose la propriété vraie pour n alors elle est aussi vraie pour n+1

Comprends tu

busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 02 Nov 2013, 12:46

Lilly45 a écrit:d'accord, et après je dois voir si un au rang N+1 soustrait à un au rang n fixé est divisible par 6 ?


oui

Lilly45 a écrit:EDIT : je viens de le faire et je me retrouve avec une expression à rallonge, je sais pas quoi faire avec


il s'agit juste de mettre 6 en facteur

Lilly45
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par Lilly45 » 02 Nov 2013, 12:47

Ah oui pardon c'est 3^2n - 2^n divisible par 7 j'ai mal noté l'énoncé ><
oui j'ai compris, merci, j'aurais jamais pensé de moi même à faire une égalité entre l'expression avec n et 4k, la base du raisonnement.

Lilly45
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par Lilly45 » 02 Nov 2013, 12:50

busard_des_roseaux a écrit:oui



il s'agit juste de mettre 6 en facteur


mettre 6 en facteur ?

titine
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par titine » 02 Nov 2013, 13:04

Lilly45 a écrit:Ah oui pardon c'est 3^2n - 2^n divisible par 7 j'ai mal noté l'énoncé ><
oui j'ai compris, merci, j'aurais jamais pensé de moi même à faire une égalité entre l'expression avec n et 4k, la base du raisonnement.

Je pense que tu peux appliquer la même technique au 1)

Lilly45
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par Lilly45 » 02 Nov 2013, 13:06

titine a écrit:Je pense que tu peux appliquer la même technique au 1)


Oui je suis en train de le refaire moi même la démonstration du 2) après je ferais le 1). Mais pour le 3) c'est pas clair du tout :cry:

3) pour tout n appartenant à N : n(n+1)(2n+1) divisible par 6

titine
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par titine » 02 Nov 2013, 13:24

Lilly45 a écrit:Oui je suis en train de le refaire moi même la démonstration du 2) après je ferais le 1). Mais pour le 3) c'est pas clair du tout :cry:

3) pour tout n appartenant à N : n(n+1)(2n+1) divisible par 6

On suppose que n(n+1)(2n+1) est divisible par 6.
Et on doit démontrer qu'alors (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) c'est à dire (n+1)(n+2)(2n+3) est divisible par 6.
D'accord là dessus ?

n(n+1)(2n+1) = 2n^3 + 3n² + n

(n+1)(n+2)(2n+3) = 2n^3 + 9n² + 13n + 6 = (2n^3 +3n² + n) + 6n² + 12n + 6
On a supposé que (2n^3 +3n² + n) est divisible par 6 ................

Lilly45
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par Lilly45 » 02 Nov 2013, 13:32

titine a écrit:On suppose que n(n+1)(2n+1) est divisible par 6.
Et on doit démontrer qu'alors (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) c'est à dire (n+1)(n+2)(2n+3) est divisible par 6.
D'accord là dessus ?

n(n+1)(2n+1) = 2n^3 + 3n² + n

(n+1)(n+2)(2n+3) = 2n^3 + 9n² + 13n + 6 = (2n^3 +3n² + n) + 6n² + 12n + 6
On a supposé que (2n^3 +3n² + n) est divisible par 6 ................


Il y a confusion sur l'énoncé, c'est n(n+1)(2n+1) divisible par 6
les n+1 et n+2 en facteur ne sont pas des rangs, on ajoute 1 à n

titine
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par titine » 02 Nov 2013, 13:50

Lilly45 a écrit:Il y a confusion sur l'énoncé, c'est n(n+1)(2n+1) divisible par 6
les n+1 et n+2 en facteur ne sont pas des rangs, on ajoute 1 à n

Je ne comprends pas ce que tu veux dire.

La propriété à démontrer est :
Pour tout n : n(n+1)(2n+1) est divisible par 6.

On suppose la propriété vraie pour une certaine valeur de n : on suppose donc que n(n+1)(2n+1) est vraie pour n.

Et on doit démontrer qu'alors la propriété est vraie pour n+1, c'est à dire que :
(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) est vraie.

Lilly45
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par Lilly45 » 02 Nov 2013, 13:52

titine a écrit:Je ne comprends pas ce que tu veux dire.

La propriété à démontrer est :
Pour tout n : n(n+1)(2n+1) est divisible par 6.

On suppose la propriété vraie pour une certaine valeur de n : on suppose donc que n(n+1)(2n+1) est vraie pour n.

Et on doit démontrer qu'alors la propriété est vraie pour n+1, c'est à dire que :
(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) est vraie.


voilà c'est ça :) on est d'accord
donc écrire par la suite (n+1)(n+2)(2n+2) c'est faux.

titine
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par titine » 02 Nov 2013, 14:15

Lilly45 a écrit:voilà c'est ça :) on est d'accord
donc écrire par la suite (n+1)(n+2)(2n+2) c'est faux.

Mais je ne crois pas avoir écrit (n+1)(n+2)(2n+2)
J'ai bien écrit (n+1)(n+2)(2n+3)

J'ai l'impression qu'on ne se comprend pas .... Peut être ne parle t on pas de la même chose ... Je vais relire précisément les messages précédents ...

 

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