Demande de verification SVP prob :):)

[fabre]

L'exercice:


On considère désormais deux urnes :
Une urne bleue contenant initialement un jeton marqué 0 et un jeton marqué 1.
Une urne rouge contenant initialement un jeton marqué 0 et un jeton marqué 1.
On appelle « échange » l'action consistant à extraire simultanément un jeton de chaque urne puis à le remettre dans l'autre urne. On effectue des échanges successifs indéfiniment.
Pour tout entier naturel non nul "n" on désigne par Zn la variable aléatoire réelle discrète égale à la somme des points marqués sur les jetons de l'urne bleue après le nième échange.
On note Z0 la variable certaine égale à 1, somme initiale des points dans l'urne bleue.
Pour neN, on note un= p(ZN+0), vn=P(zn=1) et Wn=P ( zn=2)
La notation (a;b) signifiera qu'on échange les jeton a et b

1 Donner l'ensemble des valeurs possibles et donner la loi de Z1

a)

Za/b=(0,1,2)

b)

pour (z=0)= 1/2*1:2=1/4
pour (z=1)= 1/2*1/2+1/2*1/2=1/4
pour ( z=2) = 1/2*1:2=1/2

2 pour neD donner une relation simple UN,Vn et WN

1/4+1/4+1/2


3 Reconnaitre la loi conditionnelle de Zn+1 sachant (Zn+1)

Si l’évènement Zn= 0 est réalisé, cela signifie que l’urne bleue contient les deux jetons marqué 0 après le n ième échange. Le tirage suivant amènera donc nécessairement un jeton 1 dans l’urne bleue et donc la somme des points sera égale à 1.
On a donc Pzn=0 (Zn+1=0)
Si l’évènement Zn= 1 est réalisé, l’urne bleue contient un jeton 0 et un jeton 1. Pour qu’au tirage suivant il y ait une somme égale à 0 dans l’urne bleue, il faut que l’évènement B1 INTER RO soit réalisé.


On a donc Pzn=1(ZN+1=0)=1:4

Si l’évènement Zn= 2 est réalisé, l’urne bleue contient un jeton 1 et un jeton 1. Au tirage suivant elle contiendra nécessairement un jeton 1 et un jeton 0 et donc

Pzn=2(ZN+1=0)=0

4) calculer les probabilité total à partir de la relation simple

u_n+v_n+w_n=1


c'est ok