Soient , une famille d'entiers tels que:
.
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que, à fixé et pour tous les différents de , on ait:
[CENTER][/CENTER]
Waax22951 a écrit:Bonjour,
Je pense avoir réussi un exercice du concours général, mais ça me semble étrange puisque je n'y arrive d'ordinaire jamais..! (même si il m'a semblé plus simple que d'autres..)
Du coup, j'aimerais savoir si ma réponse est correcte, merci d'avance !
Réponse:
Posons d'abord , la suite définie par récurrence par:
On a alors:
D'où
On en déduit qu'étudier la convergence de équivaut à étudier celle de .
Notons que pour tout n, . En effet, . Or, si , alors , donc on en déduit par récurrence le résultat.
Posons maintenant la propriété , définie pour tout entier naturel n par:
[CENTER] [/CENTER].
est bien vraie puisque .
Supposons maintenant que soit vraie et montrons que est aussi vrai.
Par hypothèse, on a .
D'où
On a donc bien démontré que , donc que pour tout n, .
Or, on a , d'où
Puisque , on en déduit que converge vers 1.
Waax22951 a écrit:Je remarque que j'avais mal vu l'énoncé: je croyais que le dernier "+" était une faute de frappe signifiant que appartenait aussi dans le membre de gauche, désolé pour l'erreur..!
Sinon, mon résultat est-il bon en excluant mon erreur au départ..?
Pour ce qui est de l'autre exercice, je vais le noter dans le coin de ma main pour le faire demain, merci encore pour tous ces exercices..!
(Désolé de ne répondre que maintenant, je fus assez occuppé cette semaine, et ça risque d'être de nouveau le cas pendant les deux prochaines semaine, donc je m'excuse à l'avance..)
Juste une autre question: en réfléchissant sur quelque chose, j'en suis venu à chercher la limite de la suite suivante:
J'ai conjecturé que cette limite était et j'ai démontré que cette limite existait (en montrant que les deux suites définissant les rangs pairs et impairs de la suite sont adjacentes), mais je n'ai pas eu le temps d'y réfléchir de nouveau, ce qui fait qu'aucune idée concrète me vient à l'esprit pour montrer la limite..
Merci d'avance et bonne soirée !
zygomatique a écrit:salut
j'avais suivi un peu le fil .... et avec un peu de retard j'y reviens ...
on en déduit par récurrence que
d'autre part
donc la suite est décroissante ...
la suite est décroissante et minorée (par 1) donc est convergente
sa limite L vérifie donc L = 0 ou L = 1
et la minoration par 1 implique L = 1
:zen:
paquito a écrit:n'a jamais prouvé que existait', ni ; exemple et , d'une part, d'autre part la solution proposée relève d'une application directe de cours, mais en aucun cas d'un exo du concours général: faut pas rêver!!
zygomatique a écrit:non
vu la définition de la suite quelle que soit la valeur de u_0 on a u_1 > 1
donc la suite est décroissante à partir de n = 1
non effectivement je m'avance un peu ....
zygomatique a écrit:en fait les deux propriétés et sont héréditaires ...
c'est ce qui fait toute la difficulté de la conclusion
ce qui nécessite dans tous les cas un raisonnement par l'absurde .... pour contredire la monotonie de la suite et permettre de conclure ....
Ben314 a écrit:Salut,
Concernant l'exo de départ : et
Perso, j'aurais commencé par deux remarques façiles :
1) pour tout
2) Si pour un certain on a alors ce qui signifie que .
Le 2) signifie que la suite est soit croissante tout le temps, soit décroissante à partir d'un certain rang .
Dans le premier cas, elle ne peut pas tendre vers l'infini, vu qu'on montre facilement que si ce qui contredit la croissance.
Elle est donc croissante et majorée donc convergente.
Dans le deuxième cas, elle est décroissante à partir d'un certain rang et minorée donc de nouveau convergente.
Enfin, dans les deux cas, la limite vérifie et donc .
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