Demande vérification de correction exo limite

[Victor75]

Bonjour,
Un calcul de limite me pose problème. La correction est compréhensible, mais j'aimerais vérifier si mon raisonnement est bon.
Il s'agit d'exercices disponibles à l'adresse suivante:

https://www.annales2maths.com/exercices-ts-limites-suites/



La correction privilégie une factorisation par n^3 au numérateur et n^4 au dénominateur. A l'arrivée, la limite est 0.

Quant à moi j'avais ceci:





Ensuite, je supprimais les n² puis considérais:

La limite du numérateur: => le numérateur tend vers + l'infini.

La limite du dénominateur: => le numérateur tend vers + l'infini.

Cependant le dénominateur est toujours supérieur au numérateur. Donc la limite tend vers 0.

Pourriez-vous me dire en quoi mon raisonnement est correct ?

Merci beaucoup,
Victor

[catamat]

Bonjour

Cependant le dénominateur est toujours supérieur au numérateur. Donc la limite tend vers 0.

Non ! on peut seulement dire que c'est inférieur à 1 mais pas que la limite, si elle existe, est nulle...

Contrexemples
qui a pour limite 1

n'a pas de limite

[Victor75]

Merci Catamat, en regardant les contrexemples je comprends que mon raisonnement est invalide.

Mais alors j'ai un doute: comment savoir au démarrage quelle serait la factorisation la plus appropriée ? Par habitude ? Par tâtonnement ? Car devant l'expression de départ, on peut finalement s'y prendre de plein de façons différentes.

Merci,
Victor

[catamat]

En général, on met en facteur un terme de limite infinie et s'il y en a plusieurs, on choisit celui qui tend le plus vite vers l'infini.
Par ex :
Si ce sont des puissances de n, on prendra celle de plus haut degré,
si on a ln(n) et , avec p entier supérieur à 1, on mettra en facteur car il tend plus vite vers l'infini que ln(n),
enfin entre exp(n) et on mettra exp(n) en facteur pour la même raison.

Sinon, il faut essayer de lever l'indétermination inf/inf, si cela ne marche pas on essaye une autre factorisation...

[Ben314]

Salut,

Cependant le dénominateur est toujours supérieur au numérateur. Donc la limite tend vers 0.

Bon, déjà, les maths. c'est pas des affirmations gratuites sorties de nulle part donc si effectivement le dénominateur est toujours supérieur au numérateur, il faudrait le démontrer.

Ensuite, j'ai de gros doute concernant le fait que ça suffise à assurer que la limite soit zéro.
Prenons par exemple où, très clairement, le dénominateur est toujours supérieur au numérateur. Tu peut me dire combien ça vaut lorsque (proche de zéro ou pas) ?

[Victor75]

Merci Catamat pour la précision.

Ben314, en fait mon raisonnement se basait sur le fait que "si je divise un gâteau et que je le divise en un nombre de parts de plus en plus grand, à l'arrivée j'aurais forcément un nombre de parts qui se rapproche de zéro". C'était oublier qu'en simplifiant on peut avoir comme limite... 1 ou -1 (l'exemple Vn).

Je vais refaire quelques exercices et essayer de passer à la suite du cours.

A+,
Victor

[Ben314]

Ben314, en fait mon raisonnement se basait sur le fait que "si je divise un gâteau et que je le divise en un nombre de parts de plus en plus grand, à l'arrivée j'aurais forcément un nombre de parts qui se rapproche de zéro".

Oui, mais ça, c'est correct pour une fraction avec un numérateur toujours égal à 1 vu que tu as toujours un et un seul gâteau dans ton truc.
Alors que toi, ce que tu prétendait, c'est que si on coupe un certain nombre de gâteaux en un certain nombre de part avec un nombre de part plus grand que le nombre de gâteaux alors les parts vont être très petite.
Et ça c'est clairement faux : 100 gâteaux à partager pour 101 convives, ça fait quasi un gâteau par personne.

[mathou13]

Bonjour,

Quand on a un quotient de polynome et qu'en l'infini on a une forme indéterminée du style:
+infini/+infini on devra factoriser le numérateur et le dénominateur par le monome de plus haut degre afin de lever l'indetermination.