Convexité et inflexion TES

[laura26]

Bonjour à tous , j'ai fait un exercice et je voulais savoir si cela est correcte , voici mon travail :
Une entreprise produit du textile. Elle peut fabriquer au maximum 10 km en continu.
Le cout total de production , en euro , est donné en fonction de la longueur , en km , par la formule :
c(X) = 15x^3-120xcarré+500x+750 , ou x appartient [0;10]

Le cout marginal Cm peut être assimilé à la dérivée du cout total, ainsi sur [0;10] , Cm(X)=C'(X)
1/ calculer Cm(X) et étudier les variations de Cm sur l'intervalle [0;10].
En déduire que le cout marginal Cm admet un minimum au point d'inflexion de la courbe de cout total C.

J'ai fait C(X) = 15x^3-120xcarré+500x+750
C' (X) = 45xcarré -240x+500
C'' (X) = 90x - 240

90x-240 = 0
x = 8/3
Cm est concave sur [0;8/3] et convexe sur [8/3;0]
elle admet le point d'abscisse 8/3 comme point d'inflexion car c''(X) s'annule en 8/3 en changeant de signe
Merci d'avance.

[ElWaner]

Cm=C' est dérivable sur I=[0, 10]
Cm est convexe si est seulement si sa dérivée, c'est à dire C'' est croissante sur I.

C'est le cas car C'' est une fonction linéaire croissante de type f(x) = a*x + b avec a>0 sur I.
Donc Cm est convexe sur I.

Autre façon:
Cm est deux fois dérivable sur I
Cm est convexe si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur I.

C'est le cas car Cm'' est la dérivée de C'' c'est a dire Cm''(x) = a = 90 et a>0 sur I.
Donc Cm est convexe sur I.

Cependant,
C est convexe si est seulement si sa dérivée seconde est positive sur I.

La dérivée seconde de C est Cm' et est négative sur [0, 8/3[ puis positive sur ]8/3, 10].
Donc C est convexe sur ]8/3, 10] et concave sur [0, 8/3[.

C''=Cm' s'annule en changeant de signe au point 8/3 donc 8/3 est un point d'inflexion de C.

[laura26]

Ok merci beaucoup ça me permet de voir plus clair !

[capitaine nuggets]

Salut !

Une remarque géométrique :
- La courbe représentative C d'une fonction f est concave si, quels que soient les points M(x,f(x)) et N(y,f(y)), le segment [MN] est toujours situé "en-dessous" de la portion de C délimitée par les points M et N.
- La courbe représentative C d'une fonction f est convexe si, quels que soient les points M(x,f(x)) et N(y,f(y)), le segment [MN] est toujours situé "au-dessus" de la portion de C délimitée par les points M et N.

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