Analyse - point d'inflexion

par **Stephanelam** » 14 Oct 2012, 18:26

Bonjour à tous,

Je ne sais pas trop par quel bout prendre cet exercice :

Soit f dérivable sur [a,b] dont la dérivée f' est dérivable sur [a,b].
Soit c un réel appartenant à ]a,b[.
f' est strictement croissante sur [a,c] et strictement décroissante sur [c,b].
Soit Cf la représentation graphique de f dans un repère donné.
Soit Tc la tangente à Cf en son point C d'abscisse c (point d'inflexion).

Etudier la position relative de Cf par rapport à Tc.

J'ai commencé par définir l'existence de ce qui m'intéresse :
. f définie sur [a,b] et c appartient à ]a,b[ donc f(c) existe.
. f' définie sur ]a,b[ donc de même, f'(c) existe.

Tc aurait alors pour équation : y = f'(c)(x-c)+f(c)

Et puis là j'imagine qu'il faut faire entrer en jeu les variations de f' en faisant le lien avec le signe de la dérivée seconde, mais je vois pas trop comment continuer après ...

Merci de votre aide !

:jap:

par **Skullkid** » 14 Oct 2012, 18:36

Bonjour, essaye de dresser un tableau de variations de g(x) = f(x) - f'(x)(x-c) - f(c).

par **Stephanelam** » 14 Oct 2012, 18:43

Skullkid a écrit:Bonjour, essaye de dresser un tableau de variations de g(x) = f(x) - f'(x)(x-c) - f(c).

Salut Skullkid,

Pourquoi f(x) - f'(x)(x-c) - f(c) ?

... Ah non je suis bête c'est pour étudier le signe de la différence.

Pour le tableau de variations, on aurait g'(x) = f'(x) - f''(x)(x-c) + f'(x) - f'(c) donc g'(x) = 2f'(x) - f"(x)(x-c) - f'(c)

Sauf qu'on va avoir un problème pour f'(c) vu qu'il appartient aux deux intervalles du dessus, non ?

________________________________
Brouillon
(uv)'=u'v+uv'
(x-c)' = 1
f''(x)*(x-c)+f'(x)
f'(c)

par **fatal_error** » 14 Oct 2012, 18:47

salut,

mmmm
Tc: y = f'(c)(x-c)+f(c)
Cf: y(x) = f(x)

La position relative des deux courbes est donnée par le signe de S tq
S = f(x) - [f'(c)(x-c)+f(c)] = f(x) - f(c) + (x-c)f'(c)

si on etudie x dans [a,c], x-c<0
supposons S>0, alors
S/(x-c)<0
[f(x)-f(c)]/(x-c) + f'(c)<0
or je crois qu'on peut utiliser Rolles? (je sais plus le nom...) qui dit qu'il existe un d dans [x,c] tel que f'(d)==[f(x)-f(c)]/(x-c) , idem
f'(d) + f'(c) < 0
ici, si on arrive à montrer que f'(d)+f'(c) est <0 alors on déduit S>0 et donc Cf au dessus de Tc sur [a,c]
mais

on peut rien déduire de f'(d)+f'(c), sauf si on connaissait le signe de f'(d) ...

par **Stephanelam** » 14 Oct 2012, 18:49

Je viens de vérifier, j'ai bien mis toutes les données de l'énoncé, donc ça doit être faisable.
Après on sait jamais, en TS4, tu sais, tout est possible ...

Et puis Rolles, on est pas censés connaître.

par **Skullkid** » 14 Oct 2012, 18:51

J'ai fait une faute de frappe, désolé, il fallait bien sûr lire g(x) = f(x) - f'(c)(x-c) - f(c). Les dérivées sont beaucoup plus sympathiques. On n'a pas besoin de savoir ce que vaut f'(c).

par **Stephanelam** » 14 Oct 2012, 18:56

Skullkid a écrit:J'ai fait une faute de frappe, désolé, il fallait bien sûr lire g(x) = f(x) - f'(c)(x-c) - f(c). Les dérivées sont beaucoup plus sympathiques. On n'a pas besoin de savoir ce que vaut f'(c).

Pas de soucis, c'est de ma faute, je suis bête, surtout que j'avais écrit l'équation de la tangente dans le premier post, j'aurais dû m'en rendre compte. On a donc :

g(x) = f(x) - f'(c)(x-c) - f(c)

D'où :

g'(x) = f'(x) - f''(c)(x-c) - f'(c)

Or on ne connaît pas le signe de f'(x), et pour f"(c)(x-c) et f'(c), on a toujours le problème de c qui appartient aux deux intervalles, non ? On a au moins besoin de connaître son signe ...
_______________________
Brouillon
(uv)'=u'v+uv'
(x-c)' = 1
f''(c)*(x-c)+f'(c)

par **Luc** » 14 Oct 2012, 18:57

Salut,

Stephanelam a écrit:c'est pour étudier le signe de la différence.

oui exactement, étudier la position relative de deux courbes de fonctions c'est exactement pareil qu'étudier le signe de la différence de ces fonctions.

Ensuite, il y a un gros souci dans ton calcul de dérivée. c est constant, donc f(c) aussi. Sa dérivée (par rapport à x!) est nulle.

Tu verras tout se clarifiera quand tu as corrigé cette erreur de calcul.

par **Stephanelam** » 14 Oct 2012, 19:02

Luc a écrit:oui exactement, étudier la position relative de deux courbes de fonctions c'est exactement pareil qu'étudier le signe de la différence de ces fonctions.

Oui, je sais pas où j'avais la tête ... j'aurais dû penser directement à faire la différence, j'ai pas le droit de passer à côté de ça ...

Luc a écrit:Ensuite, il y a un gros souci dans ton calcul de dérivée. c est constant, donc f(c) aussi. Sa dérivée (par rapport à x!) est nulle.

Ah ben oui, c'est pas faux. Merci.

On aurait donc :

g(x) = f(x) - f'(c)(x-c) - f(c)

Et :

g'(x) = f'(x) - f'(c)

... sauf erreur, ce qui n'est pas impossible vu comment je suis parti ...

Mais on ne peut pas déterminer le signe de g'(x), il faudrait déterminer g"(x), non ?

f'(c) étant une constante, on aurait alors g"(x)=f"(x) et on peut alors faire le lien avec le point d'inflexion ...

_____________________
Brouillon
(ku)'=ku'
(x-c)'=1

par **Luc** » 14 Oct 2012, 19:03

Stephanelam a écrit:g'(x) = f'(x) - f'(c)

Exactement, et comme l'a dit Skullkid, c'est quand même beaucoup plus sympathique pour pouvoir utiliser les hypothèses que l'on a fait sur f.

par **Stephanelam** » 14 Oct 2012, 19:06

(J'ai édité mon message précédent ...)

Moi a écrit:Mais on ne peut pas déterminer le signe de g'(x), il faudrait déterminer g"(x), non ?

f'(c) étant une constante, on aurait alors g"(x)=f"(x) et on peut alors faire le lien avec le point d'inflexion ...

par **Luc** » 14 Oct 2012, 19:08

Stephanelam a écrit:(J'ai édité mon message précédent ...)

Oui, tu peux passer par la dérivée seconde, mais tu peux aussi raisonner directement : je te rappelle que f' est strictement croissante sur [a,c] et strictement décroissante sur [c,b].

par **Stephanelam** » 14 Oct 2012, 19:10

Luc a écrit:Oui, tu peux passer par la dérivée seconde, mais tu peux aussi raisonner directement : je te rappelle que f' est strictement croissante sur [a,c] et strictement décroissante sur [c,b].

Ah oui, effectivement. Mais on n'a pas (sans vouloir insister) un problème avec le f'(c), puisque c appartient à la fois à l'intervalle croissant et à l'intervalle décroissant ?

par **Luc** » 14 Oct 2012, 19:11

Stephanelam a écrit:Ah oui, effectivement. Mais on n'a pas (sans vouloir insister) un problème avec le f'(c), puisque c appartient à la fois à l'intervalle croissant et à l'intervalle décroissant ?

Je ne vois pas le problème. Que veux-tu montrer?

par **Stephanelam** » 14 Oct 2012, 19:13

Luc a écrit:Je ne vois pas le problème. Que veux-tu montrer?

Justement, je ne comprends pas pourquoi Skullkid parlait de tableau de variations au début.
Ce qu'on veut déterminer, c'est le signe de g(x), non ?

par **Luc** » 14 Oct 2012, 19:15

Stephanelam a écrit:Justement, je ne comprends pas pourquoi Skullkid parlait de tableau de variations au début.
Ce qu'on veut déterminer, c'est le signe de g(x), non ?

Oui, c'est son signe. Pour cela, son sens de variation est une information intéressante, donc on calcule sa dérivée, on étudie le signe de la dérivée et on voit quelles infos on peut en tirer sur les variations, puis le signe de g.

par **Stephanelam** » 14 Oct 2012, 19:22

Luc a écrit:Oui, c'est son signe. Pour cela, son sens de variation est une information intéressante, donc on calcule sa dérivée, on étudie le signe de la dérivée et on voit quelles infos on peut en tirer sur les variations, puis le signe de g.

Ok.

Concrètement, on a g'(x) = f'(x) - f'(c) donc :

pour x dans [a,c], on a f'(x) croissante donc g'(x) croissante ... donc ?

C'est bête, mais je suis un peu perdu sur la fin, désolé de t'embêter autant pour un problème qui doit être assez simple en soi.

par **Luc** » 14 Oct 2012, 19:27

Stephanelam a écrit:Ok.

Concrètement,

pour x dans [a,c], on a f' croissante

pour x dans [a,c], on a donc f'(x) <= f'(c).

par **Stephanelam** » 14 Oct 2012, 19:31

[quote="Luc"]pour x dans [a,c], on a donc f'(x) = 0 donc g(x) est st. croissante sur [c,b]

Et on en déduit le signe de g(x), donc de la différence, donc la position relative de Cf par rapport à Tc ?

par **Skullkid** » 14 Oct 2012, 20:18

Stephanelam a écrit:Du coup on aurait :
. pour x dans [a,c], g'(x) = 0 donc g(x) est st. croissante sur [c,b]

Non, g'(x) est aussi négatif sur [c,b]. Comme g'(x) = f'(x)-f'(c), les variations de g' sont les mêmes que celles de f' : g' est croissante sur [a,c], décroissante sur [c,b]. De plus, g'(c) = 0 donc g' est négative sur [a,b] tout entier. Donc g est décroissante sur [a,b], de plus g(c) = 0, on conclut.

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