Connaitre le signe du discriminant sans développer ??

[Legolas2mars]

Bonjour, je viens de faire un exercice et je comprends pas très bien comment on peut trouver le résultat sans développer. Voici l'énoncé :
''Pour tout x appartenant à R, le discriminant du polynôme (3x-(7/2))^2 + 2 est (ne pas développer l'équation pour répondre) :
A. positif
B. negatif
C. nul
D. je l'ignore''

La réponse est : "B: comme (3x-(7/2))^2 est toujours positif ou nul pour x=7/6, alors (3x-(7/2))^2 + 2 ne peut être que strictement croissante. (JUSQU'ICI JE SUIS OK).
Par conséquent, pour tout x appartenant à R, le polynôme n'admet aucune racine et son discriminant est strictement négatif. (C'EST LÀ QUE NE COMPRENDS PAS COMMENT ILS PEUVENT EN DEDUIRE CETTE CONCLUSION)"

Ici on a aucune info sur b sans développer donc comment peut-on dire que b2-4ac <0 ??
Merci pour vote aide.

[GaBuZoMeu]

Hum, je ne suis pas sûr que tu aies retranscrit fidèlement la correction.

est strictement positif (et pas strictement croissant) pour tout nombre réel (il est même supérieur ou égal à 2). Par conséquent le polynôme n'a aucune racine dans . Tu es d'accord ?
Et on sait que le discriminant d'un polynôme du second degré à coefficients réels qui n'a aucune racine dans est strictement négatif. Tu es d'accord ?

[Legolas2mars]

Salut GaBuZoMeu, merci pour ton aide encore une fois !

Oui, effectivement j'ai fait une erreur c'est bien positif et non croissant, désolé.

Ah oui, c'est le y qui est strictement positif, soit f(x) strictement positive donc c'est une courbe qui ne touche jamais l'axe des abscisses, donc aucune racine. On a bien un discriminent négatif, c'est bon, c'est juste que pour moi c'est le x qui était positif et non la fonction en elle-même...

C'est le +2 qui fait que la fonction est STRICTEMENT positive c'est ça ?

[GaBuZoMeu]

est positif ou nul pour tout réel , donc est supérieur ou égal à 2 pour tout réel .

[Legolas2mars]

Ok ça marche, merci beaucoup !

[mathou13]

Bonjour,

Comme un carré est >0 un carré+>0 donc il n'y a pas de racines donc dellta....