Coniques

[samirou]

Bonjours j'ai un exo avec lequel je me traîne depuis quelques jours car certaines questions me posent d'énormes problèmes surtout la question 1. c. J'aimerais bien du soutient pour ces questions que je n'arrive pas à faire.

On désigne par (C) l'ensemble des points M(x,y) du plan (P) dont les coordonnées vérifient l'équation :
4y^2-8xy+4x^2-8y-17x+4=0 (1)
1. Dans le plan complexe (P ), le point M(x ; y ) a pour affixe z tel que z = x + i y .
On désigne par z (barre) le nombre complexe conjugué de z (z (barre) = x - iy).
a. Exprimer, en fonction de z et de z (barre) , les nombres réels suivants : x ; y ; x^2+y^2, xy.
b. En déduire une relation nécessaire et suffisante, que vérifient z et d z (barre) , pour que le point M d'affixe z appartienne à (C ).
c. Soit le point N (X ; Y ) d'affixe Z , tel que Z = X + iY , transformé du point M dans la rotation de centre O et d'angle ;)/4. Exprimer Z en fonction de z .
Trouver une relation nécessaire et suffisante que vérifient Z et Z(barre) , pour que N appartienne à la courbe (P) transformée de la courbe (C ) dans la rotation de centre O et d'angle ;)/4
En déduire l'équation de la courbe (P) et la nature de la courbe (C).
2. On désigne par (C ;)) l'ensemble des points Q(x ; y) du plan (P) dont les coordonnées vérifient l'équation : 4y^2-8xy+4x^2-8y+;)x+4=0 (1)
dans laquelle ;) désigne un paramètre réel.
a. En utilisant la relation (1) exprimer y en fonction de x.
b. Montrer que pour ;) = 8, (C;)) est une droite dont on donnera l'équation.
Dans toute la suite du problème, on supposera : ;) ;)8.
c. Montrer que, pour une valeur quelconque de ;) différente de 8, la courbe (C;)) est située dans un demi-plan de frontière y;)Oy ; préciser lequel.
Montrer que les courbes (C;)) passent par un point fixe.
d. Montrer que les courbes (C;)) sont des paraboles.

Pour j'ai ceci

1. a) z + z(barre)= 2x; z - z(barre) 2= 2iy; zz(barre)=x^2+y^2 et xy= ( z + z barre)( z - z barre)/4i
b) M appartient à (C) si 4(x^2+y^2)-8xy-8y-17x+4=0 c'est à dire si:
4(zz barre)-8( z + zbarre)( z - z barre)/4i -8( z - zbarre)/2i -17( z + z barre)/2 + 4 = 0
Z en fonction de z: Z=(;)2/2 + i;)2/2)z

[capitaine nuggets]

Salut !

.
a pour affixe dans : .

1°)a) Pour la première question, ce n'est pas toujours très complet :
Si et alors :
- donc ;
- donc ;
- (identité remarquable à connaître) ;
- (d'après les deux premières relations obtenues).

b) A partir des relations établies, déduis-en , , et pour réécrire sous forme conplexe l'équation .
On évitera d'avoir des termes en "" au dénominateur :we:
Ainsi si et seulement si vérifie l'équation ...

c) Un point d'affixe est l'image d'un point d'affixe par la rotation de centre d'affixe et d'angle si et seulement si .