Congruences

par **Anonyme** » 30 Déc 2005, 16:00

Je sais que j'ai déjà posté cet article mais il se trouve que je le retourne dans tous les sens depuis une semaine donc peut être que quelqu'un peut m'aider plus que cela n'a déjà été fait

on pose A=(10^9n)+(2*(10^6n))+(2*(10^3n))+1

1) trouver suivant les valeurs de n le reste de la division de 10^n par11
déduisez-en le reste de la division de A par 111

2) *on suppose n impair. Démontrez que A est divisible par 7, par 11 et par 13
*on suppose n pair, démontrez que A a le même reste dans les divisions par 7, par 11 et par 13

3) en utilisant la question 2 trouvez suivant les valeurs de n le reste de la division de A par 1001

en cherchant par application numériques je trouve trois restes possibles pour la première question: 1, 10, 100, mais je n'arrive pas à le démontrer plus théoriquement. Tout ce que je sais (merci painosik) c'est que je dois démontrer pour cette question que n peut être de trois formes: 3k; 3k+1; 3k+2
j'essaie d'introduire la parité puisqu'il en est question dans la question suivante, mais je me perds dans des calculs qui n'amènent à rien et pourtant ce n'est pas faute d'avoir cherché!!!

par **Chimerade** » 30 Déc 2005, 16:16

Encore une question mal rédigée ! Tu pourrais au moins relire ton texte avant de le poster !

leila999 a écrit:on pose A=(10^9n)+(2*(10^6n))+(2*(10^3n))+1

Tu veux dire

ou

? Figure-toi que ce n'est pas la même chose !
Tu veux dire

ou

? Figure-toi que ce n'est pas la même chose !
Tu veux dire

ou

? Figure-toi que ce n'est pas la même chose !

Pas la peine de connaître LaTex pour ça, il suffisait de mettre des parenthèses !
on pose A=(10^(9n))+(2*(10^(6n)))+(2*(10^(3n)))+1
alors que les parenthèses extérieures n'étaient pas nécessaires :
on pose A=10^(9n)+2*(10^(6n))+2*(10^(3n))+1
on peut même en enlever encore quelques-unes :
on pose A=10^(9n)+2*10^(6n)+2*10^(3n)+1

... mais celles qui entourent 3n, 6n et 9n étaient absolument nécessaires, mais absentes !!!

leila999 a écrit:1) trouver suivant les valeurs de n le reste de la division de 10^n par11
déduisez-en le reste de la division de A par 111

Que vient faire 111 dans cette galère ?

par **Anonyme** » 30 Déc 2005, 16:29

désolée pour les patenthèses je me suis lamentablement trompée

quant à 111 je sais bien que c'est galère mais c'est la question on observe des congruences modulo 111

par **Anonyme** » 30 Déc 2005, 16:36

décidément j'ai pas été très douée pour taper cet article le 11 qui y apparait n'a rien à y faire c'est 111 partout désolée

par **Chimerade** » 30 Déc 2005, 23:21

Contrairement aux apparences, les questions 1, d'une part, et 2 et 3, d'autre part, n'ont aucun rapport entre elles (si ce n'est qu'elles mettent toutes deux en jeu les applications des congruences...)
1)

....

Il est clair que la série des puissances de 10 se poursuit indéfiniment de la même façon. On peut écrire :

...pour k=0,1, et 2.

2)
Notons que :

(puisque 1000=7*143-1)

(puisque 1000=91*11-1)

(puisque 1000=77*13-1)

Il en résulte que

Bon, eh bien, yapuka le faire !

Il suit que :

pour K=7,11 ou 13

Si n est impair,

d'où :

pour K=7,11 ou 13

A est donc divisible par 7, 11 et 13

Si n est pair :

pour K=7,11 ou 13

Devineras-tu la réponse à la question 3 ?

par **Anonyme** » 31 Déc 2005, 11:06

ok merci pour ces précisions je vais rédiger tout ça et je me plongerai ensuite dans la troisième question. je te tiens au courant!!!

par **Anonyme** » 31 Déc 2005, 11:08

au fait si a est congru à b mod7 et a congru à c mod11 est-ce ke a est congru à bc mod77 ?
je connais les propriétés des congruences sur addition, ..... mais je ne sais pas si ça ça fonctionne

par **yos** » 31 Déc 2005, 11:12

leila999 a écrit:au fait si a est congru à b mod7 et a congru à c mod11 est-ce ke a est congru à bc mod77 ?
je connais les propriétés des congruences sur addition, ..... mais je ne sais pas si ça ça fonctionne

Non. Les propriétés s'énoncent avec un module de congruence fixe.

Tu as 7|a-b et 11|a-c et tu voudrais en déduire 77|a-bc : essaie avec des valeurs et tu verras que ça ne marche pas.

par **Anonyme** » 31 Déc 2005, 12:23

ok merci je vais me débrouiller autrement!

par **Anonyme** » 02 Jan 2006, 19:28

alors lorsque n est impair A est un multiple de 7, un multiple de 11 et un multiple de 13 j'en ai déduit (sans savoir si c'est possible) que A était un multiple de 1001 qui vaut 7*11*13

par contre lorsque n est pair je ne vois pas vraiment comment faire

merci d'avance

par **Chimerade** » 02 Jan 2006, 21:53

leila999 a écrit:alors lorsque n est impair A est un multiple de 7, un multiple de 11 et un multiple de 13 j'en ai déduit (sans savoir si c'est possible) que A était un multiple de 1001 qui vaut 7*11*13

par contre lorsque n est pair je ne vois pas vraiment comment faire

merci d'avance

Si n est impair,

d'où :

pour K=7,11 ou 13

A est donc divisible par 7, 11 et 13
le reste de la division de A par 1001 est 0.

Si n est pair :

pour K=7,11 ou 13

pour K=7,11 ou 13
le reste de la division de A-6 par 1001 est 0
donc le reste de la division de A par 1001 est 6...
he he he !!! Et voilà !

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