Congruences

par **Emmilia** » 29 Oct 2009, 09:10

Bonjour,
J'ai à nouveau un problème avec les congruences.

Déterminer l'ensemble des couples (x,y) d'entiers relatifs tels que:
a) x²+7y²=10727.

Le deuxième est très facile mais alors le premier je bloque totalement. Je ne vois absolument pas comment partir. J'ai essayé avec une table de congruences mais cela me semble impossible tant que l'expression est au carré.
Bref toute aide est la bienvenue, merci d'avance.
Bonne journée!

par **benekire2** » 29 Oct 2009, 09:31

Juste une question, quelle deuxième ??

par **Emmilia** » 29 Oct 2009, 09:38

La deuxième (mais je l'ai déjà résolue) était la suivante:

par **benekire2** » 29 Oct 2009, 10:05

Désolé de te demander ca, mais comment l'a-tu résolue ( ça m'interesse^^ même si j'ai déjà ma grosse idée). Merci!!

par **Emmilia** » 29 Oct 2009, 10:13

J'ai soustrait membre à membre donc ça m'a donné:

.

J'ai ensuite réalisé une table de congruence, en fonction de x et de 2x (de 0 à 9).

J'ai trouvé pour valeurs de x, 2 et 7.

Ensuite en considérant x=2, j'ai cherché y.
J'ai trouvé

(ce qui est impossible selon la table de congruence précédente)
Si x=7,

, ce qui équivaut à dire que

.

Voilà comment je l'ai résolu, mais j'avoue que le premier me bloque totalement ^^'

par **benekire2** » 29 Oct 2009, 10:17

ok merci bien, c'est a peu près pareil ce que j'avais fais. Alors pour la un j'ai pas trop d'idées ( je suis pas un boss en arithmétique...) mais s'il y avait eu un - je t'aurais dit de factorisé et encore... Tu as vérifié si c'était possible, avec la parité de tes entiers ?

par **Emmilia** » 29 Oct 2009, 10:22

Non c'est vrai que je n'ai pas vérifié mais j'avoue que je ne vois pas trop comment m'y prendre, surtout à cause du coefficient 7 en fait :/

par **annick** » 29 Oct 2009, 11:37

Bonjour,

Il me semble que je passerai par la congruence modulo 4, car x² est alors congru à 0 où 1 et y² aussi.
Je te laisse continuer.

par **annick** » 29 Oct 2009, 12:05

Bonjour,
Je viens juste de remarquer que 10727 est divisible par 17. Peut-être peut-on aborder la congruence par ce biais ?

par **Emmilia** » 29 Oct 2009, 13:55

Oui mais je me demande du coup si je dois réaliser une table de congruences jusqu'à 17. Enfin il faudrait d'abord que j'élimine soit les x soit les y...

par **nodgim** » 29 Oct 2009, 14:31

Je regarde combien vaut 10727 modulo 7 et je trouve 3.
Ensuite, je pose 10727-x² doit être divisible par 7.
Ramené aux congruences, ça revient à dire :
3-x²=0 modulo 7.
J'examine les cas x=0 à 6 modulo 7 et calcule les x² modulo 7.
Je conclus

par **Emmilia** » 29 Oct 2009, 14:42

Merci pour ta réponse, mais dans ce cas après avoir établi la table de congruences je ne trouve aucune solution..

par **nodgim** » 29 Oct 2009, 15:06

Oui j'ai trouvé ça aussi.
Pourquoi le "mais" ?
Zéro solution est une réponse.
Imagine que sans cette méthode, on aurait dû faire tous les essais de 1 à racine de 10727 !

par **Emmilia** » 29 Oct 2009, 16:00

Bah merci pour ton aide alors =) !

par **annick** » 29 Oct 2009, 16:04

j'avais trouvé également qu'il n'y avait pas de solution avec les tables modulo 17.
Bonne soirée à tous.

par **Emmilia** » 29 Oct 2009, 16:10

Je n'avais pas pensé en effet à établir une table modulo 17. Merci pour cette 2e méthode!

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