Congruences

[Anonyme]

Bonsoir,

determinez tous les entiers n tels que n²-3n+6 est divisible par 5. comment faire?

Merci par avance de votre aide

[Huppasacee]

n²-3n +6 divisible par 5
on ajoute 5n
continue

( c'est une piste entre autre )

[Florélianne]

n²-3n +6 divisible par 5 (P)
voyons quelle relation peut lier deux solutions de cet exercices :
si a est une solutuion de (P)
a² 3a + 6 est multiple de 5
la différence de deux multiples de 5 est multiple de 5
donc n² -3n + 6 -(a² -3a +6) est multiple de 5
n²-3n+6-a²+3a-6 = n²-3n-a²+3a = (n²-a²) -3(n-a)=
=((n-a)(n+a)-3(n-a) = (n-a)(n+a-3) est multiple de 5
comme n est premier,
ou n-a est mutiple de 5
ou n+a-3 est multiple de 5
maintenant il faut trouver des solutions de (P)

comme 10n est multiple 5 si (P) est vrai alors
n²-3n+6 + 10n est aussi multiple de 5
c'est à dire n² +7n +6 est multiple de 5
0 est un multiple de 5
donc résolvons l'équation n²+7n+6 =0
on voit que -1 est solution :
(-1)²+7(-1)+6=1-7+6 = 0
donc n²+7n+6 =(n+1)(n+x)
x= 6 (n+1)(n+6) = n²+6n+n+6=n²+7n+6
on atrouvé deux racines de n²+7n+6 : -1 et -6
ce ne sont pas des nombres entiers naturels mais ils vont nous donner le départ pour la recherche des solutions

revenons aux conditions précédentes
ou n-a est multiple de 5
c'est a dire n-a = 5k ou n = 5k+a
prenons a= -1
on obtiens que n = 5k-1
vérifions:
(5k-1)²-3(5k-1)+6 = 25k²-10k+1 -15k+3 +6 =
= 25k²-25k +10 c'est bien un mutiple de 5
donc on a une série de solutions : n = 5k-1

prenons a = -6 ;
n = 5k-6 = 5k-5 -1 =5(k-1)-1= 5k'-1
c'est la même série

ou n+a-3 = 5k
n = 5k-a+3
avec a = -1
n= 5k+1+3 = 5k+4= 5k+5-1= 5k'-1
déjà vu

avec a = -6
n = 5k+6+3=5k+9 = 5k+10-1=5k'-1
c'est toujours la même série

donc les nombres entiers tels que x²-3x+6 soient multiples de 5 sont de la forme :
n = 5k -1 (pour k élément de IN* si c'est dans IN)
cordialement

[Imod]

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?

et c'est fini :we:

Imod

[Florélianne]

tout à fait juste, mais si je n'avais pas utilisé les congruences, c'est parce que j'ignorais le niveau de connaissance de la personne!
les multiples eux font partie des connaissances de bases (collège)
Je ne cherche pas la perfection, n'étant pas dans la recherche mais dans la pédagogie... mon but est d'être comprise... je ne travaille pas pour l'élite, il y a déjà beaucoup de monde à faire ça sur ce forum mais pour l'elève moyen voire en perdition...
hélas bien peu de jeunes pensent à préciser leur classes, leur section... donc l'étendue de leur savoir...
je tente de privilégier les connaissances de bases...
Bien sûr travailler dans Z/5Z simplifie grandement les problèmes...vu qu'il n'y a plus que 5 éléments!
Je ne vous attaque pas, je justifie mon point de vue : en effet pourquoi grimper quand c'est si facile avec un hélicoptère... à condition de disposer de l'hélicoptère !
En toute cordialité

[Imod]

tout à fait juste, mais si je n'avais pas utilisé les congruences, c'est parce que j'ignorais le niveau de connaissance de la personne!

Quel est le titre du sujet ?

Imod

[Huppasacee]

Ici , il est évident, étant donné les programmes, que le sujet concerne la terminale S , avec option mathématiques .
En effet, c'est le seul programme présentant un chapitre arithmétique.
Cependant, pourquoi aller jusqu'aux congruences ?

Si a divise b, il divise b - c*a

Donc il suffit d'utiliser les théorèmes ou propriétés de la divisibilité

Mais, bon !

Toutes les réponses doivent rester les bienvenues, et le propriétaire de la discussion choisira les démarches correspondant à son niveau et décidera de poser des questions supplémentaires ou pas

C'est ce qui compte

[Anonyme]

merci beaucoup. oui il fallait utiliser les congruences mais Florélianne je vous remercie aussi pour ce que vous avez fait .
:we: