Congruences

[eva]

Bonjour à tous,
Soit N un entier s'écrivant ABCA dans le système de numérotation décimale. On suppose qua A différent de 0 . On se propose de déterminer N sachant qu'il est multiple de 7 et qu'il admet 1 comme reste dans la division par 99 .

1. A parti de N = ABCA , on définit x= 3B + C.
a) Démontrer que N et x sont congrus modulo 7.
b) En donnant successivement à B toute les valeurs possibles, déterminer les couples (B,C) tels que x soit multiple de 7.
c) Combien existe-t-il de nombres entiers s'écrivant ABCA (A différent de 0) dans le système de numérotaion décimale qui sont multiples de 7?

2. A partir de N = ABCA, on définit y = 11A + B +10C.
a) Démontrer que N et y sont congrus modulo 99.
b) Déterminer un encadrement de y. Que peut-on en déduire?

3. Achever la résolution du problème.

Je n'ai trouvé que la question 1.b) en donnant les valeurs 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 à B. Est-ce correct? Quand on parle d'entiers, est-ce les entiers naturels?
Merci de votre aide!

[Chimerade]

Donc
Mais on sait par ailleurs que
Donc
Multipliant par 5 on obtient :



Il en résulte que :

N et x sont donc congrus modulo 7.

Les possibilités sont donc :

Pour chaque valeur de A, on a donc quinze possibilités pour B et C. Et comme il y a 9 possibilités pour A, cela fait 9*15 soit 135 possibilités.

Je n'ai trouvé que la question 1.b) en donnant les valeurs 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 à B. Est-ce correct?

Oui, c'est correct, mais il ne faut rien oublier ! Tu as bien trouvé 135 ?

Question 2 :


Donc :

La plus grande valeur possible pour y est obtenue avec les plus grands nombres possibles pour A,B,C, et la plus petite avec les plus petits nombres possibles pour A,B,C
Donc

Soit :

Comme on sait que et que l'on a un encadrement de y on voit que y ne peut qu'égal à 100 (99+1) puisque 99*0+1 est inférieur à 11 et 2*99+1 est supérieur à 198.
Je te laisse conclure...

Quand on parle d'entiers, est-ce les entiers naturels?

Cela dépend du contexte. Normalement "entier" signifie entier relatif. Mais ici, il est clair que l'on ne tient pas compte du signe, il s'agit d'entiers naturels. En toute rigueur, il aurait fallu quand même préciser "entiers naturels" !

Bon courage !

[becirj]

Bonjour.
La méthode de 1.b est bonne.
Quand on parle d'entiers, naturels ou pas, cela dépend du contexte , ici A,B,C sont nécessairement des naturels.

1.a) D'abord il faur remarquer que :
Modulo 7, , , d'où
Or N est divisible par 7 donc ou encore


En utilisant la congruence établie au-dessus, - donc N et x sont congrus modulo 7.

c) J'ai trouvé 14 couples (B,C) et comme il y a 9 valeurs possibles pour A, cela fait 14x9= 126 nombres possibles.

2.a) Modulo 99, , .
Par conséquent donc N et y sont congrus modulo 11.

b) A est compris entre 1 et 9, B et C sont compris entre 0 et 9 , on en déduit que y est compris entre 11 et 198.

; il en est de même de y, la seule valeur possible de y appartenant à l'intervalle [11,198] est donc 100.

c)
Modulo 11, et
On doit donc avoir . En reprenant les couples (B,C) obtenus en 1.b) , on obtient une seule solution : B=2 et C=1 et comme y=100, A=8

Victoire : N=8218

[becirj]

Dans 1.c) j'ai oublié un couple donc réponse 9x15=135

[eva]

je vous remercie tous les deux! je vais relire attentivement si j'ai des problèmes je le redis :)
+

[eva]

Bonsoir
1. c) N'y a t-il pas que 8 valeur possibles pour A? dans ce cas il y aurait 8 * 15 possibilités d'entiers N multiples de 7... non?


AH non lol erreur de ma part :mur:

[becirj]

A peut prendre les valeurs de 1 à 9.

[eva]

est-on sûr qu'avec n'importe quelle valeur de A, N est multiple de 7 du moment que le couple (B,C) est l'un parmi ceux trouvés?

[becirj]

Dans le calcul du nombre N, A intervient par 1001 A , or 1001 est divisible par 7 donc pour toute valeur de A entre 1 et 9, 1OO1 A est divisible par 7.

[eva]

Rebonjour, l'énoncé a été modifié puisqu'il semble y avoir une erreur... je ne vois pas pourquoi :marteau:
Seules les premières questions ont été modifiées.

1) A partir de N = , on définit M =
a) Démontrer que N est multiple 7 si et seulement si M est multiple de 7.
b) Déterminer les couples (B,C) tesl que 7 divise N.


Comment prouver l'équivalence? Va t-on trouver les mêmes couples? merci

[becirj]

Bonsoir
Dans le nouveau texte est-ce ou

[becirj]

a.
1001 est divisible par 7 , donc 1001A est divisible par 7.
Par conséquent N est divisible par 7 si et seulement si 10(10B+C) est divisible par 7.
Or 7 est premier avec 10 donc 7 divise 10(10B+C) si et seulement si 7 divise =M

b. M multiple de 7 et M<100 donc , ce qui donne pour les couples (B,C) : (0,0), (0,1) , (1,4) ,...,(9,8) soit 15 couples.

[eva]

Bonjour à tous,

c)
Modulo 11, et
On doit donc avoir . En reprenant les couples (B,C) obtenus en 1.b) , on obtient une seule solution : B=2 et C=1 et comme y=100, A=8

Victoire : N=8218

n'y a-t-il pas une deuxième valeur de N? car pour el couple (b;c) = (9;8) , 9 + 10 8 = 89 = 11 8 +1

[becirj]

Bonjour
Effectivement, pour que modulo 11, B=9 et C=8 convient et on obtient alors A=1 et le nombre est 1981.

C'est un joli exercice.