Congruences

[caacaaoo]

Bonjour j'ai un problème en spé-maths mais je ne sais pas comment faire:
Résoudre dans Z: 3x^2-27x+54congrue a 0[7]
J'ai trouvé: 3x^2-27x+54=7k
Mais ensuite je ne sais pas comment faire,
Pouvez m'expliquer comment procéder?
Merci

[aviateur]

Bonjour
Je ne pense pas que c'est une bonne démarche, ne serait parce que tu ne sais pas quoi faire ensuite.
Il faut voir que ab=0 mod 7 ssi a=0 ou b=0 mod 7.
Or 3 x^2 - 27 x + 54=3(x-3)(x-6)=0 mod 7 + ce que j'ai dit ci-dessus permet de finir facilement .

[Sylviel]

Bonjour,

commence par factoriser ton trinome. Ensuite j'imagine que tu cherches à résoudre dans N ?
Si c'est le cas tu peux réfléchir à ce que cela signifie qu'un produit de nombre entier soit divisible par 7.

@aviateur : je pense que ce n'est pas plus de laisser chercher et comprendre plutôt que de donner des équivalence qui peuvent avoir l'impression d'être sorti du chapeau
(au passage ça ne marche que si a et b sont entier).

[mathelot]

bonjour,
l'équation à résoudre est


La méthode est de suivre pas à pas et modulo 7 la résolution de
l'équation dans

réduis déja les coefficients 27 et 54 modulo 7.

trouve ensuite l'inverse de 3 modulo 7, qui est solution de l'équation d'inconnue u

[aviateur]

(au passage ça ne marche que si a et b sont entier).

Quelle remarque saugrenue pour un exercice qui se passe dans !
Cela ne peut qu'embrouiller celui qui pose la question.
(Je ne sais pas comment on enseigne en lycée maintenant mais l'écriture 1/2 a =0 mod 7 n'est pas vraiment définie même si on peut lui donner un sens. )

Ensuite pour quelqu'un qui pose un exercice de math spé, je ne pense pas non plus qu'une factorisation de niveau seconde soit comme ça sorti de nulle part.

[mathelot]

bonjour,
l'équation à résoudre est

je viens de "voir" que l'on peut factoriser par 3 le trinôme.

[aviateur]

Bonjour @mathelot, je mettrais bien un bémol quand tu dis "la" méthode. Dans ce genre d'exercice il n'y a pas une méthode mais des méthodes possibles.
Perso, j'ai proposé une "non réduction de l'équation" modulo 7 car la résolution dans R est immédiate et il n'y a pas de diviseurs de 0 dans Z/7Z. Donc on a la solution directement.
Maintenant rechercher l'inverse de 3 modulo 7 n'est pas non plus la mer à boire mais il y a un peu plus de calculs.
J'invite @caacaaoo à suivre les 2 démarches un peu différentes, cela ne peut être que formateur.

[mathelot]

Bonjour @mathelot, je mettrais bien un bémol quand tu dis "la" méthode. Dans ce genre d'exercice il n'y a pas une méthode mais des méthodes possibles.

oui, tout à fait d'accord

Perso, j'ai proposé une "non réduction de l'équation" modulo 7 car la résolution dans R est immédiate et il n'y a pas de diviseurs de 0 dans Z/7Z. Donc on a la solution directement.

je n'avais pas vû non plus que le dans vaut 81, ce qui rend l'exercice inintéressant du point de vue du modulo 7.

Ce qu'il faudrait, c'est bricoler une équation du second degré dans Z/7Z qui par exemple n'ait pas de solution
réelle.

[aviateur]

Rebonjour
Pour revenir à "des" différentes méthodes
il y a aussi le calcul de 3x^2-27 x+54 mod 7 pour
x=0,1,....,6 (et bien sûr faire avant la réduction proposée par @mathelot pour ne pas se fatiguer) et c'est terminé.
Mais elle n'est pas très efficace, pour un même éxo avec un grand nombre premier autre que 7.

[aviateur]

Bon l'exercice est tout de même intéressant.

[aymanemaysae]

Bonjour;

.

Si on pose : avec , on aura sept cas à traiter :

cas : u = 0 .
: cas à écarter .

cas : u = 1 .
: cas à écarter .

cas : u = 2 .
: cas à écarter .

cas : u = 3 .
.

En continuant , on écartera les cas : u = 4 et u = 5 . Je te laisse vérifier pour u = 6 .

[mathelot]

pour aider @caacaaoo, on peut écrire une "table des doubles" et une "table des carrés"






pourquoi? parce que le doit être un carré et "" doit être un double.

[aviateur]

Ok pour tout ça mais alors je finis l'exo à ma façon
On a

ou encore

ssi ou
Donc ou modulo 7.

Car il faut savoir que dans Z/p Z avec p premier, il n'y a pas de diviseurs de zéros.
Ce qui veut dire que ab=0 mod p est équivalent à a=0 ou b=0 (modulo p).

[Sylviel]

(au passage ça ne marche que si a et b sont entier).

Quelle remarque saugrenue pour un exercice qui se passe dans !
Cela ne peut qu'embrouiller celui qui pose la question.
(Je ne sais pas comment on enseigne en lycée maintenant mais l'écriture 1/2 a =0 mod 7 n'est pas vraiment définie même si on peut lui donner un sens. )

Ensuite pour quelqu'un qui pose un exercice de math spé, je ne pense pas non plus qu'une factorisation de niveau seconde soit comme ça sorti de nulle part.

Pas si saugrenue : il n'est pas précisé que l'on cherche les entiers x tels que ...

Tu lâches un résultat ab = 0 [7] ssi a = 0 [7] ou b = 0 [7] qui n'est clairement pas évident pour un élève de TS, comme si c'était une formule à savoir par coeur et pourrait être mal réutilisé :
- l'équivalence n'est vraie que si a et b sont des entiers
- l'équivalence ne fonctionne que parce que 7 est premier etc...

De même la factorisation est simple, elle n'en reste pas moins un exercice. Je t'invites donc, comme j'invite les autres intervenants, à laisser l'élève chercher au maximum l'exercice pour comprendre au mieux les différentes étapes.

[aviateur]

Bon alors il y a 2 possibilités ou bien c'est évident ou pas (pour celui qui pose la question).
Dans le premier cas ta remarque n'est pas fondée.
Dans le deuxième cas, tu te contredis car tu voudrais qu'on laisse encore du travail à celui qui pose la question et c'est exactement ce qu'il doit faire réfléchir à l'égalité ab=0 dans Z/7Z. Si cela ne lui dit rien, je lui ai bien laissé l'initiative de réfléchir et de se convaincre pourquoi cela implique a=0 ou b=0.
Là encore ta remarque n'est pas fondée.
Et puis ai-je sous-entendu que c'est quelque chose à savoir par coeur?
Maintenant en TS , 7 divise ab alors.....

[mathelot]

pour aider @caacaaoo, on peut écrire une "table des inverses"




avec

il n'a plus qu'à suivre la résolution dans avec les "méthodes":
- prendre l'inverse de a (ici a=3)
- prendre la "racine carrée" de à l'aide de la table des carrés.

[aviateur]

Pas si saugrenue : il n'est pas précisé que l'on cherche les entiers x tels que ...

Rebonjour @Sylviel a -t-on le même énoncé?
J'ai lu et relu cet énocé: non seulement résoudre 3x^2...=0 mod 7 sous-entend qu'on cherche des entiers (et à mon avis il faut avoir l'esprit tordu pour chercher autre chose) mais de plus c'est écrit explicitement qu'on cherche des entiers.

[mathelot]

je montre une méthode sur un autre exemple, l'équation (F):

(équation (F))
on réduit 90 modulo 7


on factorise par 3, pour cela il faut connaitre l'inverse de 3, c'est 5 [7]
table des inverses:



(*)
3 a pour inverse 5, on multiplie par 5 la congruence (*)

(**)
est le début du carré



cherchons dans la table des carrés si 2 est un carré:

table des carrés:




on factorise avec l'identité remarquable



car et
ou
conclusion:
il existe k,k' entiers relatifs tels que:
ou