Congruences

[ROXAS300]

Bonsoir, à la question :
"Ap=(2^p)+(2^2p)+(2^3p)
Si p=3n, quel est le reste de la division de Ap par 7 ?"
Je trouve deux restes donc j'imagine avoir fait une faute mais je ne vois pas où

Voici mon raisonnement :
Si p=3n, Ap=(2^3n)+(2^6n)+(2^9n)
= (2^n)*[(2^3)+(2^6)+(2^9)]
=(2^n)*(2^18)
Or 2^18=262 144=87 381*3+1 soit 3k+1
Donc (2^18) congru à 2 mod 7 (J'ai prouvé à la question précédente que si n=3k+1 alors 2^n congru à 2 mod 7)
Par produit, (2^18)*(2^n) congru à 2*(2^n) mod 7 soit (2^18)*(2^n) congru à (2^n+1) mod 7
(2^n+1) est le reste de Ap par 7 si 0<(2^n+1)<7
Donc les valeurs de n possibles sont 1 et 2
Et les restes possibles sont 2 et 4.

Merci d'avance pour votre aide.

[FLBP]

Ap=(2^3n)+(2^6n)+(2^9n)
= (2^n)*[(2^3)+(2^6)+(2^9)]

Aie aie aie, on peut pas faire cela !

[FLBP]

Salut,
une façon de procéder est d'observé la formule du binôme de newton:



Le seul élément de la série qui n'est multiple de 7 (pour trouver le modulo 7) est quand ce qui implique que :

Ce qui implique un reste de 3 ...

[ROXAS300]

Je n'ai pas compris ta méthode mais merci d'avoir remarqué l'erreur et donné une réponse à atteindre, je réessaierai demain

Par contre, à titre indicatif, pourrait-tu m'expliquer pourquoi ce que j'ai fait est incorrect car si je développe, cela donne :
(2^3n)+(2^6n)+(2^9n)
=(2^3)*(2^n)+(2^6)*(2^n)+(2^9)*(2^n)
Donc je devrais pouvoir factoriser par 2^n comme je l'ai fait, non ?

[infernaleur]

Attention aux règles de calcul sur les puissances !

Rappel :
soit un réel non nul et , des entiers.
On a : et surtout pas !!!!

Par exemple si on prend : , et
on a : mais

Par contre ce qui est vrai c'est que :

[ROXAS300]

Ah oui en effet, merci pour votre aide