CONGRUENCES

[harsisi]

Salut à tous.....Besoin d'aide

Demontrer que pour tous entiers naturels a,b et c on a a^3+b^3+c^3 = 0[7] ==> abc=0[7]

[aviateur]

Bonjour
Un cube modulo 7 c'est 0,1 ou 6.
Si aucun des a,b,c =0 mod 7
alors les seuls cas possibles mod 7 pour c'est: 1+1+1, 1+1+6, 1+6+6, 6+6+6 mais aucun n'est égal à 0 mod 7.
Donc au moins l'un des 3 a,b,c= 0 d'où abc=0 mod 7

[Kiliango]

N'y t'il pas une autre façon de démontrer ça

[aviateur]

Peut être, en général, je donne la première solution qui me vient à l'esprit, mais pourquoi demande tu cela?

[Ben314]

Salut,

N'y t'il pas une autre façon de démontrer ça

Il y a toujours plusieurs preuves possible pour démontrer un résultat (le but étant... d'en trouver au moins une...)
Ensuite, on peut ergoter pendant des lustres concernant le fait de savoir quelle est la "meilleure" preuve vu que tout dépend de ce qu'on entend par "meilleure".

Là, la preuve proposée par aviateur est :
- Courte
- Facile à trouver
- Facile à comprendre (il n'y a rien besoin de connaître à part la définition de ce que signifie "congru" et la compatibilité avec +)
Le seul truc qu'on peut lui reprocher éventuellement c'est au niveau esthétique : c'est souvent considéré comme "pas joli" de résoudre un problème par énumération des différents cas de figure. Sauf que vu que des cas à considérer, il n'y en a que 4 (donc très peu), il faut être un peu masochiste pour essayer de chercher une autre méthode.

[aviateur]

Bonjour,
@ben effectivement je m'attendais un peu à cette remarque mais finalement c'est toi qui le fait.
Ici n=7, c'est pas très grand. Mais, alors vu cette question, j'ai regardé une autre preuve possible (qui évite donc de considérer les différents cas possibles). Le problème c'est que j'en ai pas trouvé.

[nodgim]

A noter qu'il y a la même propriété pour une somme de 5 cubes.

[Ben314]

Si on veut éviter de calculer tout les cubes de Z/7Z, on peut éventuellement tenter une approche plus théorique, au moins au début :
Si K=Z/pZ (p>2 premier), le noyau du morphisme f:K*->K* ; x->x^3, contient 1 plus les éventuelles racines de x²+x+1. Et comme le discriminant vaut -3, il y a des racines ssi -3 est un carré modulo p, c'est à dire (via la loi de réciprocité quadratique) ssi p est un carré modulo 3 c'est à dire p = 1 [3] (<=> p =1 [6]). Donc
- Si p = 2 mod 3, ker(f)={1} : f est injective donc bijective et il existe c (non nul) tels que c^3=-2 donc tel que 1^3+1^3+c^3=0 et l'implication a^3+b^3+c^3=0 => abc=0 est fausse.
- Si p = 1 mod 3, (donc par exemple p=7) ker(f)= (où est une racine de x²+x+1) est de card=3 donc il y a (p-1)/3 cubes différents dans K* et on vérifie facilement qu'un x de K* est un cube ssi x^((p-1)/3)=1 [même preuve que pour les carrés]. Ensuite, si l'équation a^3+b^3+c^3=0 admet des solution avec abc0, ça signifie que l'équation x^3=1+y^3 admet des solutions avec xy non nul, c'est à dire qu'il existe y non nul (et évidement différent de -1) tel que (1+y^3)^((p-1)/3)=1.

Je sais pas si on peut aller beaucoup plus loin en restant "théorique", mais dans le cas p=7, ça permet de faire un unique calcul : il y a (p-1)/3=2 cubes non nuls qui sont évidement 1=1^3 et-1= (-1)^3 donc le seul candidat y^3 qui pourrait éventuellement vérifier (1+y^3)^((p-1)/3)=1, c'est y^3=1 or (1+1)^((p-1)/3)=2^2=4 qui est différent de 1 : l'implication a^3+b^3+c^3=0 => abc=0 est vraie.

[aviateur]

Merci. C'est intéressant.