Congruences

[kurenay]

Bonsoir,
a^n=1^n+2^n+3^n+4^n.
Établir que a^n n'est jamais multiple de 10³.

Aide: On pourra réduire a^n modulo 8 pour n>(ou égale) 3.

Pouvez m'aider à résoudre cette question.
Merci

[Ben314]

Désolé,
Je comprend rien a ton énoncé...
C'est qui le a tel que a^n=1^n+2^n+3^n+4^n ?
Ça ne peut pas être un entier : à part si n=1, 1^n+2^n+3^n+4^n ne donne jamais la puissance n-ième d'un entier...

[kurenay]

L'énoncé exacte : Pour tout entier naturel n , on pose a^n=1^n+2^n+3^n+4^n.
Établir que a^n n'est jamais multiple de 10³.
Aide: On pourra réduire a^n modulo 8 pour n>(ou égale) 3.

[Ben314]

Ben, je sais pas d’où sort l'exo., mais si tu connait la personne qui l'a fait, ça serait pas con de lui signaler que, quand on "pose" un truc, ben le truc qu'on "pose", c'est une variable et pas une fonction.
Donc par exemple, ça
"Pour tout entier naturel n , on pose "
ou bien ça
"on fixe un entier n et on pose "
ça aurait du sens, mais pas ce que tu as dans ton énoncé...

[kurenay]

Mon énoncé sort du livre Terminal S spécialité maths Bordas 2012.
J'ai aussi trouvé la correction mais je ne l'a comprends pas.. " Pour n >(ou égale) 3 , a^n congru 1+3^n [8] , soit a^n congru 2 [8] ou a^n congru 4[8] suivant la parité de n . Ainsi, a^n n'est pas multiple de 2³ donc non multiple de 1000.
Pourrais tu me l'expliquer ? Merci

( dans l'énoncé , le n est à la puissance. dans la correction , il est en indice.. pas compris pourquoi non plus )

[Ben314]

( dans l'énoncé , le n est à la puissance. dans la correction , il est en indice.. pas compris pourquoi non plus )

Ben... c'est qu'il y a une faute de frappe dans l'énoncé...
Donc c'est
Si tu regarde chaque morceau modulo 8 :
* 1^n de toute façon, ça fera tout le temps 1 (modulo 8 ou pas)
* 2^n ça fait 0 modulo 8 dés que n>=3
* 3^n tu vérifie rapidement que ça fait 1 modulo 8 si n est pair et ça fait 3 modulo 8 si n est impair (en fait ça vient du fait que 3^2=9 est congru à 1 modulo 8)
* 4^n ça fait 0 modulo 8 dés que n>=2
Donc au total, ça fait 1+0+1+0=2 ou bien 1+0+3+0=4 modulo 8
donc ça ne fait jamais 0 modulo 8 alors que, si c'était divisible par 1000, ça devrait être divisible par 8.

[kurenay]

Aaaaaaaaah okeey ! Merci et Comment démontre t-on tous sa mathématiquement pour répondre à la question ?