Congruences et récurrence

[ela]

Alors voilà, ça fait exactement trois jours que je passe ma vie autour de ce DM et que je ne trouve pas!!!
J'en deviens complètement folle.
Pourriez-vous m'aider s'il-vous-plaît, je dois le rendre demain dans l'après-midi, merci de votre aide!

Soit a un entier naturel premier avec 10.
1) Montrer que a^4 est congru à 1 modulo 10.
2) A. Montrer que pour tout entier naturel k a^(4x10^k) est congru à 1 modulo 10^(k+1)
B. En déduire que pour tout entier naturel k : a^(8x10^(k+1)) est congru à a modulo 10^(k+1)
3) Déterminer un nombre entier naturel n tel que l’écriture de n^3 se termine par 123456789.

En fait je bloque pour la question 2a et 3;
On peut utiliser comme je l'ai fait la récurrence pour la question 2 avec la formule (x^10-1)=(x-1)(1+x+...+x^9) mais je bloque pour démontrer au rang k+1.
Merci de votre aide!

[XENSECP]

Perso ça fait qq temps que j'ai pas fait de "spé maths" mais j'aimerais bien savoir comment tu démontres la 1), car en général tu utilises le même principe pour la récurrence ;)

[Huppasacee]

Bonjour

Pour la 2a
Raisonnement par récurrence

et pour l'hérédité , lorsque l'on développe
(m*10^(k) +1)^10
avec les coefficients du binôme de Newton , tenir compte du fait que
C ( n, n-1) = 10

les deuxième et avant dernier coefficients du binôme sont égaux à 10, ce qui permet de conclure à la congruence cherchée

[Huppasacee]

Perso ça fait qq temps que j'ai pas fait de "spé maths" mais j'aimerais bien savoir comment tu démontres la 1), car en général tu utilises le même principe pour la récurrence

que du lourd :

a ne peut être congru qu'à 1; 3; 7; 9 modulo 10
et en élevant à la puissance 4 ces nombres , le résultat est congru à 1 modulo 10

[ela]

Merci en fait pour la récurrence du 2a j'ai fini par trouver mais il me manque toujours la réponse pour la dernière question 3. Si vous avez des pistes, je suis preneuse!

[ela]

En fait, j'ai fini par tout trouver, même la question 3.
Merci de votre aide et à bientôt!