Dm compliqué

[scoliosegirl]

Bonsoir, j'ai un DM et je ne trouve pas du tout la démarche à appliquer pour cet exercice, merci de m'aider.
Voici le sujet :
Deux cercles de rayons R, de centres respectifs O1 et O2, sont tengents à la droite D et tangents entre eux. Un carré de côté A est "posé" sur la droite D et touche les deux cercle.
Exprimer A en fonction de R

Bonne soirée

[siger]

bonjour,

il n'y pas de demarche particuliere....il faut simplement faire un dessin

la droite O1O2 est parallele a D puisque les cercles ont meme rayon et sont tangents a D
et comme les cercles sont tangent entre eux O1O2=2R
les cotes du carre sont perpendiculaires a D et a O1O2 et sont tangents aux cercles en P1 et P2
on a donc P1O1= P2O2=R
d'ou A=P1P2=.....,

[mathafou]

Bonjour

...les cotes du carre sont perpendiculaires a D et a O1O2 et sont tangents aux cercles en P1 et P2

peut être bien qu'il ne s'agit pas du tout de ce carré là mais de celui-ci :


le tien est sans doute P1P2VU si je comprends bien
et il est "trivial" donc aucune difficulté pour affirmer que son côté est = 2R,
contrairement au carré ABCD qui pose lui un vrai problème de maths
(pas insurmontable tout de même)
Thalès + Pythagore, ou coordonnées et équations de cercle et droite, conduisent à une équation du second degré, dont d'ailleurs on peut considérer une des deux solutions (P1P2VU !) comme évidente : 2R !
l'autre (celle qu'on cherche vraiment, le côté de ABCD) s'obtient alors immédiatement.

[siger]

Re

le carré que j'ai consideré est le carre de cote 4R dans lequel les cotes perpendiculaires a D sont tangents aux cercles O1et O2
( tout revient a la definition que l'on donne a "touchent")

Mais c'est effectivement trivial ........
et il est plus interessant de considerer l'autre carre ABCD.

[mathafou]

le carré que j'ai consideré est le carre de cote 4R

ce troisième carré est encore moins intéressant car le 4ème côté largement au dessus suprime la condition "c'est un carré" :
ce pourait tout aussi bien être un rectangle de largeur 4R et de hauteur n'importe quoi > 2R !

[siger]

Exact!

En reprenant le schema de "mathafou" et ses notations.....
la figure est symetrique autour de l'axe MT , il existe alors une solution analytique simple

dans le systeme d'axes (u,uv,up1)
l'equation de O1 est : x² + (y-R)² = R²
en posant BM = a on a
M(R,0), B(R-a,0), A(R-a, yA)
et on cherche A sur le cercle ainsi qu'un carre c'est a dire yA = 2a
d'ou
(R-a)² + (2a-R)² = R²
.......

deux carres : ABCD et UVP2P1


remarque:
il est facile de verifier que le point D(R+a, 2a) est bien sur le cercle O2: (x-2R)² + (y-R)² = R²