Changement de variable

par **karine78** » 27 Fév 2015, 15:09

Bonjour, j'ai un exercice de maths à faire pour le lycée mais je n'y arrive pas du tout.
Voici l'énoncé:

I)
a.Démontrer que pour tout x appartenant à R+: x+1/x>= 2
b.Déterminer pour quelle valeur de x l'inégalité précédente devient une égalité
c.Démontrer que pour tout x appartenant à R-: x+1/x<=-2

II).Soit (E): x2+x+1+1/x+1/x2=0, équation d'inconnue x que l'on cherche à résoudre dans R*
a.Justifier que (E) <=> z=x +1/x
z2+z-1=0 ( changement de variable)
b.Démontrer que:
(E) <=> (x+1/x=z1 ou x+1/x=z2)
avec z1 et z2 deux réels distincts dont on calculera les valeurs exactes, puis des arrondis à 10-1

c.Déduire de II(b), I(a) et I(c) que l'équation (E) n'a pas de solution dans R.

Là où j'en suis :

Pour la I)a, j'ai fait A-B=0, et j'ai trouvé (x2-2x+1)/x=0, puis j'ai fait un tableau de signe , j'ai trouvé que le numérateur a un delta négatif donc le polynome prend le signe de a sur R, soit +, mais je ne sais pas si c'est correct ni comment arriver à répondre à la question.

Pour la I)b, je sais que pour x=1, x+1/x =2, mais je ne sais pas comment le montrer mathématiquement

A partir de la I)c, je suis complètement bloquée, je ne sais pas du tout quoi faire.

Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Bonne journée

par **mathelot** » 27 Fév 2015, 15:15

si tu multiplies par x l'inégalité (1.a), tu obtiens

soit

avec égalité en x=1

pour la (1.c), idem , sauf qu'on multiplie par x négatif, on change le sens des inégalités

par **karine78** » 27 Fév 2015, 15:26

mathelot a écrit:si tu multiplies par x l'inégalité (1.a), tu obtiens

soit

avec égalité en x=1

pour la (1.c), idem , sauf qu'on multiplie par x négatif, on change le sens des inégalités

Merci beaucoup pour votre aide, j'ai fait comme vous avez dit pour la I)a et b, et pour la I)c du coup j'ai utilisé la même méthode et ça a marché.

Par contre, pour la suite je suis vraiment bloquée...

par **mathelot** » 27 Fév 2015, 15:37

ensuite, il s'agit de polynômes symétriques

(resp.

)

on pose

(resp.

)

calcule

par **karine78** » 27 Fév 2015, 16:20

mathelot a écrit:ensuite, il s'agit de polynômes symétriques

(resp. )

on pose
(resp. )

calcule

Merci!
Pour la II)a, j'ai pris z^2 +z-1=0 et j'ai remplacé z par x+1/x, et je suis arrivée à E.

Pour la II)b, j'ai pris z^2+z-1 et j'ai résolu ce polynome de 2nd degré, avec ses deux racines z1 et z2.
J'ai trouvé leur valeur : z1= (-1-racine de 5)/ 2 soit environ -1, 6 et z2= (-1+ racine de 5)/2 soit environ 0,6

Tout cela est-il correct?

Ensuite, pour la dernière question, je suis n'ai pas compris ce qu'il fallait faire, pouvez-vous m'aider s'il-vous-plaît ?

par **mathelot** » 27 Fév 2015, 16:24

sans doute

et

sont dans ]-2;2[

l'énoncé est bien "frustrant" car l'équation réduite est celle de

où

est l'argument trigonométrique des racines complexes de (E)

avez vous vû les complexes ?

par **karine78** » 27 Fév 2015, 17:15

mathelot a écrit:sans doute et sont dans ]-2;2[

l'énoncé est bien "frustrant" car l'équation réduite est celle de où est l'argument trigonométrique des racines complexes de (E)

avez vous vû les complexes ?

Non, je n'ai pas encore vu ce chapitre...

par **mathelot** » 27 Fév 2015, 17:20

tu es en quelle classe ?

par **karine78** » 27 Fév 2015, 17:42

mathelot a écrit:tu es en quelle classe ?

en première s

par **mathelot** » 27 Fév 2015, 17:46

l'énoncé prendra tout son sens l'année prochaine en terminale.
pour l'instant, on conclue que

n'a qu'une seule solution réelle égale à 1.

par **karine78** » 27 Fév 2015, 17:54

mathelot a écrit:l'énoncé prendra tout son sens l'année prochaine en terminale.
pour l'instant, on conclue que n'a qu'une seule solution réelle égale à 1.

En fait je crois que pour la II)c, l'énoncé indique qu'il faut utiliser les informations de la I)a,c) et et de la II)b)

Donc j'ai récapitulé les informations dont je dispose, à savoir:
x+1/x>=2 quand x est positif, x+1/x<=-2 quand x

est négatif, et z1=-1,6 et z2=0,6

Mais je ne sais pas comment faire pour montrer que E n'a pas de solution sur R...

par **mathelot** » 27 Fév 2015, 18:06

[quote="karine78"]En fait je crois que pour la II)c, l'énoncé indique qu'il faut utiliser les informations de la I)a,c) et et de la II)b)

Donc j'ai récapitulé les informations dont je dispose, à savoir:
x+1/x>=2 quand x est positif, x+1/xx^5)'=(x --->5x^4)[/TEX] la fonction est strictement croissante sur R
l'équation n'admet que 1 comme solution réelle.

Les deux solutions z1 et z2 existent mais proviennent des racines complexes non réelles de (1)
de l'équation.
ce que montre l'exercice, c'est qu'il n'y a pas de solutions dans R de l'équation (E)

par **karine78** » 27 Fév 2015, 19:25

mathelot a écrit:ton équation du début est (1) (somme d'une progression géométrique)
comme la fonction est strictement croissante sur R
l'équation n'admet que 1 comme solution réelle.

Les deux solutions z1 et z2 existent mais proviennent des racines complexes non réelles de (1)
de l'équation.
ce que montre l'exercice, c'est qu'il n'y a pas de solutions dans R de l'équation (E)

Merci beaucoup et bonne soirée à vous :id:

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