Dérivée, changement de variable et polynôme de degré 3

[Rebelle_]

Bonjour =)

Un petit exercice tout bête m'amène ici :P Le titre est nul je sais, mais que dire d'autre ? ^^'

On travaille avec la fonction f telle que f(x) = 4x - tan²(x) définie pour tout x de [0, pi/2[.
On a montré que la fonction dérivée f' de f était donnée par f'(x) = 2(1-t)(t²+t+2) où t = tan x.
Il nous faut ensuite donner le tableau de variation de f sur I.

J'ai pensé étudier le signe du polynôme g de degré trois tel que g(t) = 2(1-t)(t²+t+2) sur R, mais je ne suis pas tout à fait sûre que cela réponde pleinement à la question :/

De visu, f' est postive pour x compris entre 0 et pi/4 (on a un point d'inflexion en 0), et négative entre pi/4 et pi/2. J'en déduis que f est croissante entre 0 et pi/4 puis décroissante entre pi/4 et pi/2.
Voilà pour ce que je dois retrouver. Voyons ce que je trouve en étudiant le polynôme défini ci-dessus.

Le polynôme g d'inconnue t est du troisième degré. On l'a présenté sous forme d'un produit de polynômes, où t²+t+2 est strictement positif pour tout t de R, et où 2 est aussi positif. On en déduit que le signe de g sur R dépend de celui du facteur 1-t. Or, 1-t est positif pour t compris entre 1 et - l'infini, et négatif pour t compris entre 1 et + l'infini. On en déduit que g est postif si t est inférieur à 1 et négatif si t est supérieur à 1. On a g(t) = 0 <=> t = 1 (que l'on peut justifier grâce au théorème de la bijection). On en déduit que f' est positive lorsque tan x < 1, négative lorsque tan x > 1 et nulle lorsque tan x = 1 soit lorsque x = pi/4 (seule valeur de I pour laquelle tan x = 1). On retrouve bien le résultat de ci-dessus : f est croissante entre 0 et pi/4 et décroissante entre pi/4 et pi/2 sur l'intervalle I.

Je pense que ce n'est pas une méthode très classique, je me suis sûrement cassé la tête mais bon :P
Le principal problème que je vois est celui des intervalles, je ne savais pas trop où étudier la fonction g : R ou I ?
Qu'en pensez-vous ? :)

Merci beaucoup =)

[Mortelune]

Bonjour,

Déjà par rapport à tes intervalles : "f(x) = 4x - tan²(x) définie pour tout x de [0, pi/2[".
Et comme f est dérivable sur ce même intervalle on va avoir t sur dans ta dérivée.
Donc en étudiant g sur R tu en fais plus que demandé.

Sinon l'idée c'est bien ça pour le retour à l'intervalle I=[0, pi/2[

à noter que c'est qui fait 1 mais apparemment tu n'as pas fait l'erreur partout ^^

[geegee]

Bonjour,

Sur R tan(x+pi)=tan(x)

[Rebelle_]

Bonjour à vous deux et merci pour vos réponses =)

Oui, en effet j'ai fait des fautes en recopiant mais l'idée de tan(pi/4) = 1 est bien exposée clairement sur mon cahier ^^'
Quant à la périodicité de la fonction tangente, je conçois qu'elle soit avérée mais je ne vois pas exactement en quoi elle est utilie ici puisque l'intevalle d'étude est réduis à [0, pi/2[ :/

[Mortelune]

Techniquement elle ne sert à rien ici puisqu'on est sur une demi période ;)

[Rebelle_]

C'est bien ce qu'il me semblait :P
Il ne me reste plus qu'à rédiger tout ça au propre...

Tiens d'ailleurs, on me demande ensuite de montrer que f(x) = -1 admet une unique solution dans I, lol :P