Cercle circonscrit et vecteurs !

[Doudouu]

Bonsoir ou bonjour !

J'aurais besoin d'aides !! Si possible.

Exercice 1

Soit un triangle ABC quelconque.
On considère O le centre de son cercle circonscrit.
A', B', C' désignent les milieux respectifs de [BC] , [CA] et [AB].
Soit H le point défini par OH = OA + OB + OC (ecriture vectoriel)

1. Prouver que AH = 20A' (ecriture vectoriel)

2. Montrer que (AH) est perpendiculaire a (BC)

3. Montrer que (BH) est perpendiculaire à (AC)

4. Que peut-on en déduire pour le point H ?


Exercice 2 :

1. Soit la fonction définie sur R par f(x) = 1/2X² - 1/2
A. Démontrer que les points de Cf d'ordonnée 0 appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1.

B. Démontrer que les points de Cf d'ordonnée 1 sont sur le cercle de centre 0 et de rayon 2.

C. Conjecturer sur quel cercle de centre O se trouvent les points de Cf d'ordonnée n (n entier strictement positif) puis démontrer cette conjecture.

2. Soit la fonction g définie sur R par g(x)= 1/4X² - 1
A. Démontrer que les points de Cg d'ordonnée 0 appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2

B. Conjecturer sur quel cercle de centre O se trouvent les points de Cg d'ordonnée n (n entier strictement positif) puis démontrer cette conjecture.




MERCI MERCI , à ceux qui m'aideront !!!

[Luc]

Bonjour,

est-ce que tu as réussi une ou plusieurs questions?

Ex1 : as-tu fait une figure?
Ex2 : as-tu tracé la courbe de f et la courbe de g?

[Doudouu]

oui j'ai fait la figure (quelconque)
oui j'ai fait les deux courbes aussi ! :)

[Doudouu]

J'ai essayer de répondre aux questions, mais j'arrive vraiment pas, je sais meme pas quelle démarche il faut suivre dans l'EX1 .
Et pour l'EX2 je comprend pas le cercle d'ordonnée 0 au cercle de centre O et de rayon 1 (par exemple). Je suis complétement perdue .. :/

Bref je comprends rien du tout .. :(

[Luc]

Je trouve que tes exercices ne sont pas évidents du tout au niveau lycée. Niveau 1S ou Terminale S?

Commençons par l'exercice 2 :
a) est-ce que tu as tracé le cercle de centre O et de rayon 1 sur le même repère ou tu as tracé le graphe de f?
b) connais-tu les points de Cf d'ordonnée 0?

[Doudouu]

a) Non, je sais pas où placer ma pointe de compas. écartement de 1 d'accord. Mais le centre du cercle c'est l'ordonnée ? Donc je le place à 0 c'est ca ?
b) Oui (-1;0) et (1;0)

Je trouve mes exercices méga compliqué ! :x

[Luc]

Tu y es presque : il te manque juste de savoir que O est l'origine du repère. C'est-à-dire le point d'abscisse 0 et d'ordonnée 0.
Connais-tu une équation du cercle de centre O et de rayon 1?

[Doudouu]

Voilà j'ai tracé, donc mon cercle passe par mes points de Cf d'ordonnée 0 ! :) et il englobe le point (0; -0,5) !
l'équation c'est : x² + y² = 1, soit y² = 1 - x²
J'en suis pas du tout sure de l'équation que je propose ..

[Luc]

Voilà j'ai tracé, donc mon cercle passe par mes points de Cf d'ordonnée 0 ! et il englobe le point (0; -0,5) !
l'équation c'est : x² + y² = 1, soit y² = 1 - x²
J'en suis pas du tout sure de l'équation que je propose ..

C'est tout juste, tu as donc réussi la première question.
Est-ce que tu peux faire le même raisonnement pour les deux suivantes? C'est le même principe.

[Doudouu]

je le démontre avec des chiffres ? Je remplace x et y par quoi déjà ? :/

[Luc]

je le démontre avec des chiffres ? Je remplace x et y par quoi déjà ? :/

Non, tu trouves les points de Cf d'ordonnée 1, et tu traces le cercle de centre O et de rayon 2.

[Doudouu]

donc pour a) et b) je fais que tracer ?
La c) je mets mon équation ?

[Luc]

donc pour a) et b) je fais que tracer ?
La c) je mets mon équation ?

Oui, c'est la même équation que pour a), sauf que le rayon a changé.
Essaye de montrer que les points de Cf d'ordonnée n appartiennent au cercle de centre O et de rayon (n+1). Pense à l'identité remarquable (n+1)^2=n^2+2n+1.

[Doudouu]

désolé du temps de réponse j'étais partie manger :)

Donc la réponse pour le
a) x² + y² = 1 , soit y = 1 -x²
b) x² + y² = 2 , soit y=2 - x²
c) l'équation du cercle de centre O et de rayon (n+1) : x²+y²=(n+1) , soit y² = (n+1) - x² .
OU BIEN , x²+y² = (n+1)² , soit y²= (n+1)² - x² = (n+1-x)(n+1+x) ???? [ identité remarquable a²-b² = (a-b)(a+b) ]

[Luc]

désolé du temps de réponse j'étais partie manger

Donc la réponse pour le
a) x² + y² = 1 , soit y = 1 -x²
b) x² + y² = 2 , soit y=2 - x²
c) l'équation du cercle de centre O et de rayon (n+1) : x²+y²=(n+1) , soit y² = (n+1) - x² .
OU BIEN , x²+y² = (n+1)² , soit y²= (n+1)² - x² = (n+1-x)(n+1+x) ???? [ identité remarquable a²-b² = (a-b)(a+b) ]

Attention, c'est x² + y² = 4 pour b) et x²+y² = (n+1)² pour c)
Après il faut aussi utiliser que y=f(x), et y=1 pour b), et y=n pour c)

[Doudouu]

Donc
a) x² + y² = 1 avec y = 0
<=> x² + 0 = 1 <=> x = V1 et x= -V1 (V : Racine de ) ( <=> : équivalent à )

b) x² + y² = 4 avec y=1
<=> x² + 1² = 4 <=> x² = 3 <=> x = V3 et x = -V3

c) x² + y² = (n+1)² avec y=n
<=> x² + n² = (n+1)²
<=> x² = (n+1)² - n²
<=> x² = 2n+1
<=> x = V(2n+1) et x = -V(2n+1)

[Luc]

Ok, donc quelle est ta réponse à la question c?

[Doudouu]

Tout x supérieur ou égale à 1 ?

[Luc]

Tout x supérieur ou égale à 1 ?

On te demande de trouver un cercle de centre O.

[Doudouu]

ah oui mince. Bah V(2n+1) et -V(2n+1) ... Avec des entiers j'vois pas. Strictement positif donc je remplace n par tous les nombres au dessus de 0 , ca marche ... Aiie :/