Centre du cercle circonscrit a un triangle

[toulousaine313131]

Alors j'ai besoin d'aide, j'ai réussi la question 1, mais aprés je suis bloqué


ans un repère orthonormé (O;I;J), on donne les points A(-3;0) B(6;3) C(1;8).
Le but de l'exercice est de calculer les coordonnées du point K, centre du cercle C circonscrit au triangle ABC.
1. Placez A,B,C dans un repère (O;I;J). Construisez K et tracez le cercle C.
(pour celle-la aucun problème)

2. On note (x;y) les coordonnées de K.
Dire " K est le centre du cercle C " équivaut à dire :
" KA² = KB² et KB² = KC² "

a) Calculer KA², KB² et KC² en fonction de x et y
b) Traduisez en fonction de de x et y les égalités KA² = KB² et KB² = KC²

3. Déduisez de la question 2.b) que :
3x+y=6 et -x+y=2
b) Calculez les coordonnées de K

merci de votre aide

[messinmaisoui]

Salut toulousaine313131

C'est un exercice parfaitement guidé que celui-ci

2. On note (x;y) les coordonnées de K.
Dire " K est le centre du cercle C " équivaut à dire :
" KA² = KB² et KB² = KC² "
=>
a) Calculer KA², KB² et KC² en fonction de x et y
KA² = (x - (-3))² + y²
...

b) Traduisez en fonction de de x et y les égalités KA² = KB² et KB² = KC²

=>
On remplace par nos expression simplifiées
KA² = x² +6x + 9 + y²
...

3. Déduisez de la question 2.b) que :
3x+y=6 et -x+y=2

=> Voici ce à quoi on doit arriver


b) Calculez les coordonnées de K

=> Résolution 2 équations à 2 inconnues

[toulousaine313131]

Merci alors si j'ai bien compris,

2a)
KB²= (x-6)²+ (y-3)²
KC²=(x-1)²+(y-8)²
( mais est ce qu'on doit tous mettre sous racine carré)

2b)
KB²= x²-12x+36 +y² -6y +9 = x²+Y²-12x +45 -6y
et la je suis rebloquée, je trouve pas pareil

[messinmaisoui]

Merci alors si j'ai bien compris,

2a)
KB²= (x-6)²+ (y-3)²
KC²=(x-1)²+(y-8)²
( mais est ce qu'on doit tous mettre sous racine carré)

2b)
KB²= x²-12x+36 +y² -6y +9 = x²+Y²-12x +45 -6y
et la je suis rebloquée, je trouve pas pareil

N'oublie pas qu'il faut trouver x et y tel que KA² = KB²
donc KA² = KB²
x² +6x + 9 + y² = x²+Y²-12x +45 -6y
... il faut simplifier maintenant

et aussi faire KB² = KC²
...

[benoit16]

Petit graphique


K (1,3)
A(-3,0)
B(6,3)
C(1,8)

Longueur de KA² : ( 1-(-3))² + (3-0)² = (16 + 9) = 25
Longueur de KB²: (1-6)²+(3-3)² = 25
Longueur de KC² : (1-1)²+(3-8)²=25

CQFD

[messinmaisoui]

K (1,3)
...CQFD

Je dirais plutôt CQFT avec T comme Trouver ....

[toulousaine313131]

Merci messinmaisoui , alors pour la 2b)
KB² = KC²: x² + y² - 12x + 6y + 45 = x² + y² + 16y - 2x + 65
KA² = KB²: x² +6x + 9 + y² = x²+Y²-12x +45 -6y

mais comment simplifier? ( désolé j'ai vraiment du mal)

La 2a) est-elle juste?
KB²= (x-6)²+ (y-3)²
KC²=(x-1)²+(y-8)²
KA² = (x - (-3))² + y²

Benoit16, ton graphique m'aide un peu mais si j'ai bien compris tous les coordonnée de K il faut que je les exprime en x et y

[messinmaisoui]

x² + y² - 12x + 6y + 45 = x² + y² + 16y - 2x + 65
<=>- 12x + 6y + 45 = 16y - 2x + 65
... rassembler tout d'un coté et trouver finalement
comme indiqué plus bas dans l'énoncé 3x+y=6 et -x+y=2

[toulousaine313131]

je pense avoir trouver la 3a) :

pour KA² = KB²

x² + 6x +9 +y² = x² + y² - 12x - 6y + 45
6x + 9 = -12 x - 6 y +45
18x +6 y = 36
En simpificant par 6, j'obtiens
3x + y = 6

pour KB² = KC²
x² + y² - 12x - 6y + 45 = x² + y² - 16y - 2x + 65
-12x - 6y + 45 = -16y - 2x + 65
-10x + 10y = 20
En simplifiant par 10 j'obtiens -x + y = 2

[messinmaisoui]

Parfait donc maintenant il
te reste à résoudre ce système

3x + y = 6
et
-x + y = 2

et trouver les coordonnées de K(x,y) ...

ça va ?

[toulousaine313131]

Oui merci beaucoup pour votre aide :we:

[toulousaine313131]

je croyais m'en souvenir mais enfet je bloque :S

3x+y=6
-x+y=2

après je sais plus comment ça marche ( la méthode des combinaisons)
parce que quand je le fais ça me donne y=1.5 et x = 1

[messinmaisoui]

3x+y=6(exp1)
-x+y=2(exp2)
<=>
3x+y - (-x+y) = 6 -2 (exp1 - exp2) on élimine y ...
et
-x+y=2(exp2)

[toulousaine313131]

désolé je comprends pas, je connais pas cette méthode,
moi je comprends pas mon erreur dans mon calcul

voici mon calcul pour y

3x+y=6
-3x+3y=6 ( j'ai multiplié cette ligne pour faire disparaitre les x)

ce qui me donne: 4y=6 y=6/4 =1.5

pour x je trouve bien 1 :)

[toulousaine313131]

j'ai oublié: multiplier cette ligne par 3* désolé

[messinmaisoui]

3x+y=6(exp1)
-x+y=2(exp2)

3x+y - (-x+y) = 6 -2 (exp1 - exp2) on élimine y ...
et
-x+y=2(exp2)

x = 1
et
-1+y=2 CQFT
...