Carré parfait énigme

[alitshe]

bonjour, j'aide une amie à faire son DM et je n'ai vraiment pas d'idée qui puisse être à un niveau de seconde, voici l'énoncé :

Un nombre entier est écrit uniquement avec 18 chiffres 1; on lui soustrait 222 222 222. Démontrer, sans la calculatrice que le résultat obtenu est un carré parfait.

j'ai trouvé que ça marche avec 11 et 2, avec 1111 et 22 mais je n'arrive pas à démontrer le résultat :hum:

[chan79]

bonjour, j'aide une amie à faire son DM et je n'ai vraiment pas d'idée qui puisse être à un niveau de seconde, voici l'énoncé :

Un nombre entier est écrit uniquement avec 18 chiffres 1; on lui soustrait 222 222 222. Démontrer, sans la calculatrice que le résultat obtenu est un carré parfait.

j'ai trouvé que ça marche avec 11 et 2, avec 1111 et 22 mais je n'arrive pas à démontrer le résultat :hum:

salut
une piste de recherche

[alitshe]

salut
une piste de recherche

oui j'ai fais comme ca aussi mais ils ne connaissent pas en seconde la somme d'une suite géomètrique si ???

[chan79]

oui j'ai fais comme ca aussi mais ils ne connaissent pas en seconde la somme d'une suite géomètrique si ???

oui, alors si tu multiplies ce nombre par 9, tu as :

[nodjim]

Ben on pose l'opération et puis on fait. C'est pas très compliqué. C'est juste un exercice de division.

[alitshe]

Haaa oui ensuite on fait la même chose avec 2 mais ca suppose qu'elle connait la formule ...

[chan79]

Haaa oui ensuite on fait la même chose avec 2 mais ca suppose qu'elle connait la formule ...

[WillyCagnes]

bonjour,

avec 2 chiffres 1
11-2= 9= 1x(3)²

avec 4 chiffes 1
1111 -22 = 11(100)+11 -2x11= 11(10²) -11 = 11(10² -1) =11x99=11x11x9=(11x3)² =33²

avec 6 chiffres on trouve avec la même logique et après simplification...
111111-222 = 1111(10000-1) =(1111x3)²

d'où avec 18 chiffres 1
on obtient (1111111111111111x3)²=(3333333333333333)²

[WillyCagnes]

bonjour,
voici une proposition

avec 2 chiffres(1)
11 - 2 =9 =(3)² soit 1 chiffre (3)

avec 4 chiffres(1)
1111 -22 = 11 (100) +11 -22= 11(10²)- 11 =11(10² -1) = 11(99)= 11x11x3x3 = (11x3)² = 33²
soit 2 chiffres(3)

avec 6 chiffres(1) après calcul et simplfication on obtient
111111 -222 = 111(10^3 -1) = 111x999 = (111x3)² = 333² soit 3 chiffres (3)

avec 18 chiffres(1) on obtient 9 chiffres 3
111111111111111111 -222222222= 111111111(10^9 -1)=(333 333 333)² soit 9 chiffres(3)

[chan79]

Il y a sans doute plus simple mais regarde:




or s'écrit avec uniquement des 9 et est divisible par 9

on peut écrire avec k entier

on remplace